【等比数列的前n项和】等比数列的前n项和的Sn,S2n,S3n有何关系?它们3个数成不成等比...

【等比数列的前n项和】等比数列的前n项和的Sn,S2n,S3n有何关系?它们3个数成不成等比...

【答案】 设等比数列{an}的公比为q,则其和Sn,S2n,S3n之间有以下关系:
　　Sn,S2n-Sn,S3n-S2n成等比数列,公比为q^n.
　　证明:先证明一个更一般的通项公式.在等比数列中,
　　an=a1q^(n-1)
　　am=a1q^(m-1)
　　两式相除得an/am=q^(n-m),∴an=amq^(n-m).
　　S2n=a1+a2+...+an+a(n+1)+a(n+2)+...+a2n
　　=Sn+(a1q^n+a2q^n+...+anq^n)=Sn+(a1+a2+...+an)q^n=Sn+Snq^n
　　∴(S2n-Sn)/Sn=q^n.
　　同理,S3n=S2n+[a(2n+1)+a(2n+2)+...+a3n]
　　=S2n+[a(n+1)q^n+a(n+2)q^n+...+a2nq^n)
　　=S2n+[a(n+1)+a(n+2)+...+a2n]q^n
　　=S2n+[S2n-Sn}q^n.
　　∴(S3n-S2n)/(S2n-Sn)=q^n.
　　∴(S2n-Sn)/Sn=(S3n-S2n)/(S2n-Sn).即(S2n-Sn)^2=Sn(S3n-S2n).故证.

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