已知各项均为正数的数列{an}满足:a1=a3,a2=1,an+2=1/1+an,则a9+a10=？？
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解决时间 2021-01-25 00:18
- 提问者网友：放下
- 2021-01-24 09:47
已知各项均为正数的数列{an}满足:a1=a3,a2=1,an+2=1/1+an,则a9+a10=？？
最佳答案
- 五星知识达人网友：等灯
- 2021-01-24 10:55
a(3)=a(1+2)=1/[1+a(1)]=a(1),
1=a(1)+[a(1)]^2,
0 = [a(1)]^2 + a(1) - 1,
Delta = 1 + 4 = 5. a(1)=[-1+5^(1/2)]/2, 或a(1)=[-1-5^(1/2)]/2<0(舍去）。
a(1)=[5^(1/2)-1]/2=a(3).
a(n+2)=1/[1+a(n)],
a(2n-1+2)=a(2n+1)=1/[1+a(2n-1)],
a(2n+2)=1/[1+a(2n)],
a(2n+1)=1/[1+a(2n-1)], a(1)=[5^(1/2)-1]/2=a(3),
由归纳法可证，a(2n-1)=a(1)=[5^(1/2)-1]/2.
a(9)=[5^(1/2)-1]/2.
a(2n+2)=1/[1+a(2n)], a(2)=1,
a(4)=1/[1+1]=1/2.
a(6)=1/[1+1/2]=2/3.
a(8)=1/[1+2/3]=3/5.
a(10)=1/[1+3/5]=5/8.
a(9)+a(10)=[5^(1/2)-1]/2 + 5/8 = (1/2)5^(1/2) + 1/8
1=a(1)+[a(1)]^2,
0 = [a(1)]^2 + a(1) - 1,
Delta = 1 + 4 = 5. a(1)=[-1+5^(1/2)]/2, 或a(1)=[-1-5^(1/2)]/2<0(舍去）。
a(1)=[5^(1/2)-1]/2=a(3).
a(n+2)=1/[1+a(n)],
a(2n-1+2)=a(2n+1)=1/[1+a(2n-1)],
a(2n+2)=1/[1+a(2n)],
a(2n+1)=1/[1+a(2n-1)], a(1)=[5^(1/2)-1]/2=a(3),
由归纳法可证，a(2n-1)=a(1)=[5^(1/2)-1]/2.
a(9)=[5^(1/2)-1]/2.
a(2n+2)=1/[1+a(2n)], a(2)=1,
a(4)=1/[1+1]=1/2.
a(6)=1/[1+1/2]=2/3.
a(8)=1/[1+2/3]=3/5.
a(10)=1/[1+3/5]=5/8.
a(9)+a(10)=[5^(1/2)-1]/2 + 5/8 = (1/2)5^(1/2) + 1/8
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- 1楼网友：舍身薄凉客
- 2021-01-24 11:32
a9+a10=a1+8d+a1+9d=2a1+17d=17+17d=0
d=-1
an=a1+(n-1)d=17/2+(n-1)*(-1)=19/2-n
a9=1/2>0
a10=-1/2<0
|a1|+|a2|+|a3|+...+|an|
=(a1+a2+...+a9)-(a10+a11+...+an)
=(a1+a9)*9/2-(a10+an)*(n-9)/2
=(17/2+1/2)*9/2-(-1/2+19/2-n)*(n-9)/2
=81/2+(n-9)^2/2
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