【曲率】求曲线y=lnx的最大曲率
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解决时间 2021-01-28 18:36
- 提问者网友：寂寞撕碎了回忆
- 2021-01-28 10:39
【曲率】求曲线y=lnx的最大曲率
最佳答案
- 五星知识达人网友：長槍戰八方
- 2021-01-28 11:24
【答案】 求曲线y=lnx的最大曲率
曲率K=∣y''/(1+y'²)^(3/2)∣
y'=1/x；y''=-1/x²；故K=(1/x²)/(1+1/x²)^(3/2)=x/√(x²+1)³；
令dK/dx=[√(x²+1)³-3x²√(x²+1)]/(x²+1)³=[(x²+1)-3x²]/√(x²+1)⁵=(1-2x²)/√(x²+1)⁵=0
得x²=1/2,故得驻点x₁=-1/√2；x₂=1/√2；x₂为极大点；y'(1/√2)=√2；y''(1/√2)=-2；
于是得Kmax=2/[(1+2)^(3/2)=2/3^(3/2)=2/(3√3)=(2/9)√3
曲率K=∣y''/(1+y'²)^(3/2)∣
y'=1/x；y''=-1/x²；故K=(1/x²)/(1+1/x²)^(3/2)=x/√(x²+1)³；
令dK/dx=[√(x²+1)³-3x²√(x²+1)]/(x²+1)³=[(x²+1)-3x²]/√(x²+1)⁵=(1-2x²)/√(x²+1)⁵=0
得x²=1/2,故得驻点x₁=-1/√2；x₂=1/√2；x₂为极大点；y'(1/√2)=√2；y''(1/√2)=-2；
于是得Kmax=2/[(1+2)^(3/2)=2/3^(3/2)=2/(3√3)=(2/9)√3
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- 1楼网友：夜余生
- 2021-01-28 11:52
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