(x^2 * sin(1/x)))/(e^x-1)的趋于0的极限等于?

(x^2 * sin(1/x)))/(e^x-1)的趋于0的极限等于?

原极限=lim(x趋于0) (x^2 -sin^2x) / (x^2*sin^2x)
=lim(x趋于0) (x -sinx)(x+sinx) / (x^2*sin^2x)
x趋于0的时候，sinx等价于x
所以得到x+sinx等价于2x，
x^2*sin^2x等价于x^4
所以原极限=lim(x趋于0) 2x *(x -sinx) / x^4
=lim(x趋于0) 2(x -sinx) / x^3 所以洛必达法则求导
=lim(x趋于0) 2(1 -cosx) / 3x^2
而1-cosx等价于0.5x^2，
代入得到原极限= 2* 0.5x^2 /3x^2= 1/3

x->0
e^x -1~ x
y=1/x
lim(x->0) (x^2 * sin(1/x)))/(e^x-1)
=lim(x->0) (x^2 * sin(1/x)))/x
=lim(x->0) x sin(1/x)
=lim(y->∞) siny/y
=0

当x趋近0，1/x趋近无穷大，sin(1/x)有界，e^x-1趋近x
原式＝xsin(1/x)为0×有界＝0

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