初三相似三角形竞赛题

如图所示，三角形ABC中，AD是角BAC的平分线，AD的垂直平分线交AD于点E，交BC的延长线于点F，求证：FD的平方=FB × FC

我要比较详细的步骤，看不懂可能会追问。

因为EF是AD的垂直平分线,所以AF=FD,FD的平方=FB × FC即AF的平方=FB*FC,也就是证明△AFC∽△BFA

因为∠AFD=∠AFD,DA平分∠BAC,所以∠BAD=∠DAC

所以∠FAD=∠DAC+∠CAF ∠FDA=∠B+∠BAD

所以∠BAD=∠DAC

两个对应角相等,证明相似,再等量代换就OK了

连接AF

∵FE垂直平分AD

∴FA=FD

∴∠FAD=∠FDA

∵∠FAD=∠DAC+∠CAF ∠FDA=∠B+∠BAD ∠BAD=∠DAC

∴∠B=∠CAF

又∵∠AFC=∠BFA

∴△AFC∽△BFA

∴AF：FB=FC：FA

∴AF^2=FB*FC

∴FD^2=FB*FC

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