如何证明a：sina=b：sinb=c：sinc=2r

如何证明a：sina=b：sinb=c：sinc=2r

正弦定理：在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等.
即a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R（2R在同一个三角形中是恒量,是此三角形外接圆的半径的两倍）
证明：
方法1.
在锐角△ABC中,设BC=a,AC=b,AB=c.作CH⊥AB垂足为点H
CH=a·sinB
CH=b·sinA
∴a·sinB=b·sinA
得到a/sinA=b/sinB
同理,在△ABC中,
b/sinB=c/sinC
方法2.
证明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R：
任意三角形ABC,作ABC的外接圆O.
作直径BD交⊙O于D.连接DA.
因为直径所对的圆周角是直角,所以∠DAB=90度
因为同弧所对的圆周角相等,所以∠D等于∠C.
所以c/sinC＝c/sinD=BD=2R
类似可证其余两个等式.
方法3
记向量i ,使i垂直于AC于C,△ABC三边AB,BC,CA为向量a,b,c ∴a+b+c=0
则i（a+b+c）
=i·a+i·b+i·c
=a·cos(180-(C-90))+b·0+c·cos(90-A)
=-asinC+csinA=0
接着得到正弦定理

正弦定理证明方法 方法1:用三角形外接圆 证明： 任意三角形abc,作abc的外接圆o. 作直径bd交⊙o于d. 连接da. 因为直径所对的圆周角是直角,所以∠dab=90度 因为同弧所对的圆周角相等,所以∠d等于∠c. 所以c/sinc=c/sind=bd=2r 类似可证其余两个等式。 ∴a/sina=b/sinb=c/sinc=2r 方法2: 用直角三角形 证明：在锐角△abc中，设bc=a,ac=b,ab=c。作ch⊥ab垂足为点h ch=a·sinb ch=b·sina ∴a·sinb=b·sina 得到a/sina=b/sinb 同理，在△abc中， b/sinb=c/sinc ∴a/sina=b/sinb=c/sinc 在直角三角形中,在钝角三角形中(略)。 方法3：用向量 证明：记向量i ，使i垂直于ac于c，△abc三边ab,bc,ca为向量a,b,c ∴a+b+c=0 则i(a+b+c) =i·a+i·b+i·c =a·cos(180-(c-90))+0+c·cos(90-a)=-asinc+csina=0 ∴a/sina =c/sinc (b与i垂直,i·b=0) 方法4：用三角形面积公式 证明：在△abc中，设bc=a,ac=b,ab=c。作cd⊥ab垂足为点d，作be⊥ac垂足为点e，则cd=a·sinb，be= c sina,由三角形面积公式得：ab·cd=ac·be 即c·a·sinb= b·c sina ∴a/sina=b/sinb 同理可得b/sinb=c/sinc ∴a/sina=b/sinb=c/sinc

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