已知:如图所示,CD⊥AB,BE⊥AC,垂足分别为D、E两点,BE、CD相交于点O,求证

已知:如图所示,CD⊥AB,BE⊥AC,垂足分别为D、E两点,BE、CD相交于点O,求证：

（1）当∠OAB=∠OAC时，OB=OC

（2）当OB=OC时，∠OAB=∠OAC

1.因为∠OAB=∠OAC

AO=AO

DO⊥AB，OE⊥AC

故∠ADO=∠AEO=90°

△AOD全等于△AOE

AD=AE,DO=OE

又∠DOB=∠EOC

∠BEO=∠OEC=90°

DO=OE

△BDO全等于△CEO

DB=EC

那么AB=AD+DB=AE+EC=AC

2.由DO⊥AB,OE⊥AC得到

∠BDO=∠OEC=90°

又∠DOB=∠EOC，BO=OC

△BOD全等于△COE

OE=OD

结合∠ADO=∠AEO=90°，AO=AO

易由HL公理证明△AOD全等于△AOE

∠OAB=∠OAC

（1）证明：因为CD⊥AB,BE⊥AC,∠OAB=∠OAC，

所以DO=EO，

又因为∠BDO=∠CEO=90°，∠BOD=∠COE，

所以△BOD≌△COE（ASA），

所以OB=OC。

（2）证明：因为CD⊥AB,BE⊥AC,

所以∠BDO=∠CEO=90°，

又因为∠BOD=∠COE，

所以∠B=∠C，

又因为OB=OC，

所以△BOD≌△COE（ASA），

所以OD=OE，

又因为CD⊥AB,BE⊥AC,

所以∠OAB=∠OAC（因为AO=AO，所以△AOD≌△AOE（HL））。

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