一道有不难的数学

在正方形ABCD中，∠MAN=45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB,DC（或它们的延长线）于点M,N。如果∠MAN在如图1所示的位置时，有BM+DN=MN 成立（不必证明）。请问当∠MAN绕点A旋转到如图2所示的位置是，线段BM,DN和MN之间又有怎么样的数量关系？请说明理由。

证明：（如图）在DC上取一点E，使DE=BM，连接AE ；

∵AD=AB，∠D=∠ABM，DE=BM

∴Rt△ADE≌ Rt△ABM

∴AE=AM ，∠3=∠BAM

∵∠MAN=45°

∴∠2=45°-∠BAM

∴∠2=45°-∠3 （∠3=∠BAM）

又∵∠1=90°-∠2-∠3

∴∠1=90°-（45°-∠3）-∠3 =45°

∴∠1=∠MAN

∵AE=AM ，∠1=∠MAN ，AN=AN

∴△AEN≌ △AMN

∴EN=MN

DN=DE+EN，DE=BM

∴DN=BM+MN

即：BM+MN=DN

BM+DN>MN。

证明；图2中，因为ABCD是正方形，所以就有BC=CD，即DN=DC+CN=BC+CN，而在三角形CMN中，CM+CN是大于MN的（两边之和大于第三边），由于CM=BC+BM,所以CM+CN可以等于BM+BC+CN也等于BM+DN，所以BM+DN>MN

将△adn旋转再证adn和abn'全等

得dn-bm=mn

BM+MN=DN

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