已知直线x+y=1与椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)交与m,n两点 且以M,N为直径的圆经过原点.

已知直线x+y=1与椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)交与m,n两点 且以M,N为直径的圆经过原点.
求证1/a^2+1/b^2为一个定值!

设M、N、O坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2)、(0,0)
因为以M,N为直径的圆经过原点
所以斜率MO*斜率NO=-1
联立方程组x+y=1和x^2/a^2+y^2/b^2=1,解得
(a^2+b^2)*x^2-2a^2*x+a^2(1-b^2)=0
根据韦达定理,x1+x2=2a^2/(a^2+b^2)；x1*x2=a^2(1-b^2)/(a^2+b^2)
所以根据斜率MO*斜率NO=-1有y1y2+x1x2=0
(1-x1)(1-x2)+x1x2=0
2x1x2-(x1+x2)+1=0
2a^2(1-b^2)/(a^2+b^2)-2a^2/(a^2+b^2)+1=0
2a^2(1-b^2)-2a^2+a^2+b^2=0
a^2+b^2=2a^2b^2
所以1/a^2+1/b^2=2为定值.

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