求用勾股定理证明射影定理

已知在直角三角形ABC中，CD是斜边AB的高。
证：(1)CD的平方=AD*DB
(2)AC的平方=AD*AB
(3)BC的平方=BD*AB

记AD=a,BD=b,BC=c,AC=d,CD=e
在直角三角形ABC中，由勾股定理
（a+b）(a+b)=d平方+c平方
即 a平方+2ab+b平方=d平方+c平方
因为 a平方=d平方-e平方
b平方=c平方-e平方
代入上式 得
(d平方-e平方)+(c平方-e平方)+2ab=d平方+c平方
整理 e平方=2ab
此即第一小问的证明，其余两个，同理

已知:三角形中角a=90度,ad是高.(1)用勾股证射影:因为ad^2=ab^2-bd^2=ac^2-cd^2,所以2ad^2=ab^2+ac^2-bd^2-cd^2=bc^2-bd^2-cd^2=(bd+cd)^2-(bd^2+cd^2)=2bd*cd.故ad^2=bd*cd.运用此结论可得:ab^2=bd^2+ad^2=bd^2+bd*cd=bd*(bd+cd)=bd*bc,ac^2=cd^2+ad^2=cd^2+bd*cd=cd(bd+cd)=cd*cb.综上所述得到射影定理.(2)用射影证勾股:因为ab^2=bd*bc,ac^2=cd*cb,所以ab^2+ac^2=bd*bc+cd*cb=bc(bd+cd)=bc^2.

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