数列求和，1^2+2^2+…+n^2=？
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解决时间 2021-03-26 15:50
- 提问者网友：温柔港
- 2021-03-25 23:39
数列求和，1^2+2^2+…+n^2=？
最佳答案
- 五星知识达人网友：纵马山川剑自提
- 2021-03-26 00:15
公式：1^2+2^2+3^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
证明：
给个算术的差量法求解：
我们知道(m+1)^3-m^3=3m^2+3m+1，可以得到下列等式：
2^3 - 1^3 = 3*1^2 + 3*1 + 1
3^3 - 2^3 = 3*2^2 + 3*2 + 1
4^3 - 3^3 = 3*3^2 + 3*3 + 1
.........
(n+1)^3 - n^3 = 3.n^2 + 3*n + 1
以上式子相加得到
(n+1)^3 - 1 = 3*Sn + 3*n(n+1)/2 + n
其中Sn = 1^2 + 2^2 + 3^2 + ...... + n^2
化简整理得到：
Sn = n*(n + 1)*(2n + 1)/6
如果不懂，请Hi我，祝学习愉快！
证明：
给个算术的差量法求解：
我们知道(m+1)^3-m^3=3m^2+3m+1，可以得到下列等式：
2^3 - 1^3 = 3*1^2 + 3*1 + 1
3^3 - 2^3 = 3*2^2 + 3*2 + 1
4^3 - 3^3 = 3*3^2 + 3*3 + 1
.........
(n+1)^3 - n^3 = 3.n^2 + 3*n + 1
以上式子相加得到
(n+1)^3 - 1 = 3*Sn + 3*n(n+1)/2 + n
其中Sn = 1^2 + 2^2 + 3^2 + ...... + n^2
化简整理得到：
Sn = n*(n + 1)*(2n + 1)/6
如果不懂，请Hi我，祝学习愉快！
全部回答
- 1楼网友：末日狂欢
- 2021-03-26 02:15
直接在你说上找到这个公式呗Sn = n*(n + 1)*(2n + 1)/6
- 2楼网友：千杯敬自由
- 2021-03-26 01:33
可用待定系数法求解：
设1^2+2^2+…+n^2=An^3+Bn^2+Cn+D
则当n=1时，有1=A+B+C+D；
当n=2时，有1+2^2=8A+4B+2C+D
当n=3时，有1+2^2+3^2=27A+9B+3C+D
当n=4时，有1+2^2+3^2+4^2=64A+16B+4C+D
联立求解得A=1/3 B=1/2 C=1/6 D=0
所以1^2+2^2+…+n^2=1/3n^3+1/2n^2+1/6n=1/6n(n+1)(2n+1)
然后用数学归纳法进行证明（过程略）
设1^2+2^2+…+n^2=An^3+Bn^2+Cn+D
则当n=1时，有1=A+B+C+D；
当n=2时，有1+2^2=8A+4B+2C+D
当n=3时，有1+2^2+3^2=27A+9B+3C+D
当n=4时，有1+2^2+3^2+4^2=64A+16B+4C+D
联立求解得A=1/3 B=1/2 C=1/6 D=0
所以1^2+2^2+…+n^2=1/3n^3+1/2n^2+1/6n=1/6n(n+1)(2n+1)
然后用数学归纳法进行证明（过程略）
- 3楼网友：妄饮晩冬酒
- 2021-03-26 01:10
公式：1^2+2^2+3^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
证明：
给个算术的差量法求解：
我们知道(m+1)^3-m^3=3m^2+3m+1，可以得到下列等式：
2^3 - 1^3 = 3*1^2 + 3*1 + 1
3^3 - 2^3 = 3*2^2 + 3*2 + 1
4^3 - 3^3 = 3*3^2 + 3*3 + 1
.........
(n+1)^3 - n^3 = 3.n^2 + 3*n + 1
以上式子相加得到
(n+1)^3 - 1 = 3*Sn + 3*n(n+1)/2 + n
其中Sn = 1^2 + 2^2 + 3^2 + ...... + n^2
化简整理得到：
Sn = n*(n + 1)*(2n + 1)/6
证明：
给个算术的差量法求解：
我们知道(m+1)^3-m^3=3m^2+3m+1，可以得到下列等式：
2^3 - 1^3 = 3*1^2 + 3*1 + 1
3^3 - 2^3 = 3*2^2 + 3*2 + 1
4^3 - 3^3 = 3*3^2 + 3*3 + 1
.........
(n+1)^3 - n^3 = 3.n^2 + 3*n + 1
以上式子相加得到
(n+1)^3 - 1 = 3*Sn + 3*n(n+1)/2 + n
其中Sn = 1^2 + 2^2 + 3^2 + ...... + n^2
化简整理得到：
Sn = n*(n + 1)*(2n + 1)/6
- 4楼网友：玩家
- 2021-03-26 00:24
1^2+2^2+3^2+.+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
证法一
n^2=n(n+1)-n
1^2+2^2+3^2+.+n^2
=1*2-1+2*3-2+.+n(n+1)-n
=1*2+2*3+...+n(n+1)-(1+2+...+n)
由于n(n+1)=[n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)]/3
所以1*2+2*3+...+n(n+1)
=[1*2*3-0+2*3*4-1*2*3+.+n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)]/3
[前后消项]
=[n(n+1)(n+2)]/3
所以1^2+2^2+3^2+.+n^2
=[n(n+1)(n+2)]/3-[n(n+1)]/2
=n(n+1)[(n+2)/3-1/2]
=n(n+1)[(2n+1)/6]
=n(n+1)(2n+1)/6
证法二
利用立方差公式
n^3-(n-1)^3
=1*[n^2+(n-1)^2+n(n-1)]
=n^2+(n-1)^2+n^2-n
=2*n^2+(n-1)^2-n
2^3-1^3=2*2^2+1^2-2
3^3-2^3=2*3^2+2^2-3
4^3-3^3=2*4^2+3^2-4
.
n^3-(n-1)^3=2*n^2+(n-1)^2-n
各等式全部相加
n^3-1^3=2*(2^2+3^2+...+n^2)+[1^2+2^2+...+(n-1)^2]-(2+3+4+...+n)
n^3-1=2*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2+[1^2+2^2+...+(n-1)^2+n^2]-n^2-(2+3+4+...+n)
n^3-1=3*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2-n^2-(1+2+3+...+n)+1
n^3-1=3(1^2+2^2+...+n^2)-1-n^2-n(n+1)/2
3(1^2+2^2+...+n^2)
=n^3+n^2+n(n+1)/2
=(n/2)(2n^2+2n+n+1)
=(n/2)(n+1)(2n+1)
1^2+2^2+3^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
证法一
n^2=n(n+1)-n
1^2+2^2+3^2+.+n^2
=1*2-1+2*3-2+.+n(n+1)-n
=1*2+2*3+...+n(n+1)-(1+2+...+n)
由于n(n+1)=[n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)]/3
所以1*2+2*3+...+n(n+1)
=[1*2*3-0+2*3*4-1*2*3+.+n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)]/3
[前后消项]
=[n(n+1)(n+2)]/3
所以1^2+2^2+3^2+.+n^2
=[n(n+1)(n+2)]/3-[n(n+1)]/2
=n(n+1)[(n+2)/3-1/2]
=n(n+1)[(2n+1)/6]
=n(n+1)(2n+1)/6
证法二
利用立方差公式
n^3-(n-1)^3
=1*[n^2+(n-1)^2+n(n-1)]
=n^2+(n-1)^2+n^2-n
=2*n^2+(n-1)^2-n
2^3-1^3=2*2^2+1^2-2
3^3-2^3=2*3^2+2^2-3
4^3-3^3=2*4^2+3^2-4
.
n^3-(n-1)^3=2*n^2+(n-1)^2-n
各等式全部相加
n^3-1^3=2*(2^2+3^2+...+n^2)+[1^2+2^2+...+(n-1)^2]-(2+3+4+...+n)
n^3-1=2*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2+[1^2+2^2+...+(n-1)^2+n^2]-n^2-(2+3+4+...+n)
n^3-1=3*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2-n^2-(1+2+3+...+n)+1
n^3-1=3(1^2+2^2+...+n^2)-1-n^2-n(n+1)/2
3(1^2+2^2+...+n^2)
=n^3+n^2+n(n+1)/2
=(n/2)(2n^2+2n+n+1)
=(n/2)(n+1)(2n+1)
1^2+2^2+3^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
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