高2数学上 当X+Y+Z=1时 求证Ｘ＾３＋Ｙ＾３＋Ｚ＾３≥1/3

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  a. b.c  好打些..  所以换了哈..   慢慢看.  应该能看懂.

因为   a^2+b^2≥2ab

所以    [a^2+b^2][a+b]≥2ab(a+b)

所以    a^3+b^3+a^2b+ab^2≥2ab(a+b)=2a^2b+2ab^2

所以    a^3+b^3≥a^2b+ab^2

同理： b^3+c^3≥b^2c+bc^2  ,a^3+c^3≥a^2c+ac^2

三式相加    2[a^3+b^3+c^3]≥a^2b+ab^2+b^2c+bc^2+a^2c+ac^2

所以    2[a^3+b^3+c^3]+[a^3+b^3+c^3]≥ [a^3+b^3+c^3]+a^2b+ab^2+b^2c+bc^2+a^2c+ac^2

所以    3[a^3+b^3+c^3]≥[a^3+a^2b+a^2c]+[b^3+b^2a+b^2c]+[c^3+c^2a+c^2b]=[a+b+c][a^2+b^2+c^2]

所以    a^3+b^3+c^3≥1/3[a+b+c][a^2+b^2+c^2]

因为    a+b+c=1

所以    a^3+b^3+c^3≥1/3[a^2+b^2+c^2]

因为    [a^2+b^2+c^2]≥0

所以    a^3+b^3+c^3≥1/3 

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