已知椭圆的两个焦点坐标是(-2,0)(2,0),与直线x+y=4有公共点,球椭圆的长轴最小时的椭圆方程？

已知椭圆的两个焦点坐标是(-2,0)(2,0),与直线x+y=4有公共点,球椭圆的长轴最小时的椭圆方程？

设椭圆长轴长为2a,短轴长为2b,

∴a²-b²=2²=4,b²=a²-4>0

∴a²>4

椭圆方程为 x²/a²+y²/(a²-4)=1

直线x+y=4

y=4-x代入椭圆方程 (a²-4)x²+a²(4-x)²=a²(a²-4)

整理得 (2a²-4)x²-8a²x-a^4+20a²=0有解

△=(-8a²)²-4(2a²-4)(20a²-a^4)=8a²(a^4-14a²+40)=a²(a²-4)(a²-10)>=0

∴a²>=10或0<=a²<=4

而a²>4,则a²>=10

∴a²最小值为10,a最小值为√10

此时椭圆方程为 x²/10+y²/6=1

设椭圆的方程为 x的平方/a的平方+y的平方/b的平方=1

c=2 ∵a平方=b平方+c平方

∴b平方=a平方-4

代入方程得 x平方/a平方+y平方/[a-4]的平方=1

∵与直线x+y=4有公共点

∴△≥0 可求得a平方≥8

a的最小值是2根号2

长轴=2a=4根号2

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