设x.y∈R,求证

设x.y∈R,求证

首先明确xy≥0是条件
1.证明充分性
也就是当xy≥0 |x+y|=|x|+|y|
如果xy≥0，X，Y同号
又分2种情况 同为正 可见|x+y|=|x|+|y|
同为负 可见|x+y|=|x|+|y|
任1一个为0或2者为0 |x+y|=|x|+|y|
得出当xy≥0 |x+y|=|x|+|y|
2。证明必要性
也就是当|x+y|=|x|+|y|时 xy≥0
2边平方化简得出
XY=绝对值XY
可见XY必定≥0
最后得出结论
当x.y∈R，|x+y|=|x|+|y|的充要条件是xy≥0

证明:①当x≥0,y≥0时,则
等式左边=x+y
右边=x+y
左边=右边
原等式成立.
②当x＜0,y＜0时,则
等式左边=-(x+y)=-x-y
右边=-x-y
左边=右边
原等式成立.
综上述,当xy≥0时,│x+y│=│x│+│y│.
备注:分类讨论思想

第一：xy大于等于0，则/x+y/=x+y,/x/+/y/=x+y
第二：若/x+y/=/x/+/y/,则：左右平方得：x^2+2xy+y^2=x^2+2/xy/+y^2
化简得：xy=/xy/,所以，xy大于等于0，
因此得证！

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