在an,an+1之间插入n个数构成一个正项等差数列,根号下2Sn+人=bn+u,求an的通项

在an,an+1之间插入n个数构成一个正项等差数列,根号下2Sn+人=bn+u,求an的通项

解：
数列{an}中第k项ak，在新数列中的项数=k(k+1)/2，即ak=b[k(k+1)/2]
an=b[n(n+1)/2]
设{bn}公差为d
b1=a1=1
√(2Sn+λ)=bn+μ
2Sn+λ=(bn+μ)²
令n=1，S1=a1，b1=a1代入，整理，得λ+2=(μ+1)²
若公差d=0，则Sn=na1=n，bn=n
2n+λ=(μ+n)²
整理，得n²+2(μ-1)n+μ²-λ=0
二次项系数1≠0，而μ、λ均为常数，等式左边随n变化，不恒为0，等式不成立，因此d≠0
2[na1+n(n-1)d/2]+λ=[a1+(n-1)d+μ]²
整理，得
d(d-1)n²-(2d²-3d-2μd+2)n+(d²-2d-2μd+2)=0
等式对于任意正整数n恒成立，则只有
d(d-1)=0
2d²-3d-2μd+2=0
d²-2d-2μd+2=0
解得d=1，μ=½
λ=(μ+1)²-2=(½+1)²-2=¼
bn=1+1·(n-1)=n
an=b[n(n+1)/2]=n(n+1)/2
数列{an}的通项公式为an=n(n+1)/2

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