设O为三角形ABC外心,平面上一点P使向量OP=向OA+向OB+向OC 则点P是三角形ABC的垂心，为什么？详细步骤！！

设O为三角形ABC外心,平面上一点P使向量OP=向OA+向OB+向OC 则点P是三角形ABC的垂心，为什么？详细步骤！！

【【注】】
【1】
以下大写字母均表示向量，前面不再写“向量”二字。
如“向量AB”就写为AB.
【2】
三角形高线的性质：
任意一个三角形，其三条高线交于一点。
该点就称为三角形的垂心。
【3】
三角形的外心：
易知，若点O是⊿ABC的外心，
则|OA|=|OB|=|OC|.
【【证明】】
【1】
由“向量加法的三角形法则”可知：
AP=AO+OP.
由题设可知：OP=OA+OA+OC.
又OA+AO=0.
∴AP=AO+OP
=AO+OA+OB+OC
=OB+OC.
即：AP=OB+OC
【2】
由“向量加法的三角形法则”可知：
OB+BC=OC.
∴BC=OC-OB.
【3】
由上面的结论可知：
AP•BC
=(OB+OC) •(OC-OB)
=OB•OC-OB²+OC²-OC•OB
=OC²-OB².
=|OC|²-|OB|²
=0.
∴AP•BC=0
∴向量AP⊥向量BC.
∴在平面几何中，直线AP⊥边BC.
∴AP是该三角形的高线。
【4】
同理可证，BP,和CP均为高线，
∴点P是该三角形的垂心。

证明：AP·BC =(OP-OA)·(OC-OB) =(OC+OB)·(OC-OB) =OC^2-OB^2 　　=|OC|^2-|OB|^2 　　=0 　　故AP⊥BC 　　同理可得BP⊥AC，从而P是垂心

证明：∵o为三角形abc外心。 ∴|oa|=|ob|=|oc|， ∵op=oa+ob+oc ， ∴op-oc=oa+ob， ∴cp=oa+ob， ∴cp*ab=(oa+ob)*ab， ∴cp*ab=(oa+ob)*(ob-oa)=ob^2-oa^2=|ob|^2-|oa|^2=0， ∴cp⊥ab， ∴同理可证明ap⊥bc；bp⊥ac， ∴点p是三角形abc的垂心。

如以上回答内容为低俗、色情、不良、暴力、侵权、涉及违法等信息，可以点下面链接进行举报！

点此我要举报以上问答信息