如图，正方形ABCD中，点M、N分别在AB、BC上，BM=BN，连接MC，作BP⊥MC垂足为P，连接PN，PD．求证：PN⊥PD

如图，正方形ABCD中，点M、N分别在AB、BC上，BM=BN，连接MC，作BP⊥MC垂足为P，连接PN，PD．求证：PN⊥PD．

∵BP⊥MC，∠B=90°
∴∠PBC+∠PBM=90°，
又∵∠PBM+∠PMB=90°，
∴∠PBC=∠PMB．
∴△PBM∽△PCB，
∴
PB
BM =
PC
BC ，
∵BM=BN，BC=DC，
∴
PB
BN =
PC
CD ，
∵∠PCD+∠PCB=90°，∠PBC+∠PCB=90°，
∴∠PCD=∠PBN．
∴△PBN∽△PCD．
∴∠DPC=∠BPN．
又∵BP⊥MC，
∴∠BPN+∠CPN=90°
∴∠DPC+∠CPN=90°，
即∠DPN=90°
∴PN⊥PD．

因为四边形abcd是正方形， 所以∠b为直角， 且 bp⊥mc， 所以△cbm相似于△cbp 所以bm:bc=pb:pc 又因为bm=bn 所以bn:bc=pb:pc① 又因为∠pbn和∠pcd都是∠bcm的余角 所以∠pbn=∠pcd② 所以由①②我们知道△pbn相似于△pcd（①证毕） 所以∠4=∠5， 又因为bp⊥mc， 所以∠4+∠npc=90° 所以∠5+∠npc=90° 即 pn⊥pd（②证毕）。

如以上回答内容为低俗、色情、不良、暴力、侵权、涉及违法等信息，可以点下面链接进行举报！

点此我要举报以上问答信息