已知sinα+sinβ=1/4,cosα+cosβ=1/3,则tan(α+β)的值为 不用和差化积怎么算？

已知sinα+sinβ=1/4,cosα+cosβ=1/3,则tan(α+β)的值为 不用和差化积怎么算？

由sinα+sinβ=1/4得：
4sinα+4sinβ=1①
由cosα+cosβ=1/3得：
3cosα+3cosβ=1②
由①、②得：
4sinα+4sinβ=3cosα+3cosβ
即：4sinα-3cosα=3cosβ-4sinβ
即：sin(α-θ)=sin(θ-β)③
③式中θ为锐角，sinθ=3/5，cosθ=4/5
根据③式，分两种情况：
第一种情况，α-θ=2kπ+θ-β，k=0，±1，±2......
这时，α+β=2kπ+2θ，所以：
tan(α+β)=tan2θ=2tanθ/(1-(tanθ)^2)
=24/7
第二种情况，α-θ=(2k-1)π-(θ-β)
这时，α=(2k-1)π+β
由此得：sinα=-sinβ，cosα=-cosβ，这和已知条件不符，舍弃。

解： sinθcosθ =sinθcosθ/(sin²θ+cos²θ) =tanθ/(tan²θ+1) (分子分母同时除以cos²θ而得） =（1/3)/(1/9+1) =1/3x9/10 =3/10

sinα+sinβ=4/3（cosα+cosβ），即sinα-4/3cosα=-（sinβ-4/3cosβ） 所以α=-β+2kpi（k是正数） 所以tan(α+β）=0

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