用降次换元解方程

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解决时间 2021-02-02 18:55

提问者网友：相思似海深
2021-02-01 23:55

用降次换元解方程

最佳答案

五星知识达人网友：一袍清酒付
2021-02-02 01:15

2x⁴+7x³-x²-7x+2=0
即
x⁴+(7/2)x³-(1/2)x²-(7/2)x+1=0
移项得 x⁴+(7/2)x³=(1/2)x²+(7/2)x-1
两边加上(49/16)x²得
[x²+(7/4)x]²=(57/16)x²+(7/2)x-1
两边在加上
y[x²+(7/4)x]+(1/4)y²得
[x²+(7/4)x+(1/2)y]²=
[(57/16)+y]x²+[(7/2)+(7/4)y]x+[(1/4)y²-1]
令
[(7/2)+(7/4)y]²-4 [(57/16)+y] [(1/4)y²-1]=0
即
y³+(1/2)y²-(65/4)y-(53/2)=0
可由盛金公式可求得三个根为：
y₁=-2
y₂=(3+√(221))/4
y₃= (3-√(221))/4
现在将y₁=-2代入方程
[x²+(7/4)x+(1/2)y]²=
[(57/16)+y]x²+[(7/2)+(7/4)y]x+[(1/4)y²-1]
得 [x²+(7/4)x-1]²=(25/16)x²
两边开平方得
[x²+(7/4)x-1]=±(25/16)x
即解
x²+3x-1=0❶
x²+(1/2)x-1=0❷
可解得❶式两个根为
x₁=(-3+√13)/2
x₂= (-3-√13)/2
❷式的两个根为
x₃=(-1+√17)/4
x₄= (-1-√17)/4
∴ 2x⁴+7x³-x²-7x+2=0的四个根为
x₁=(-3+√13)/2
x₂= (-3-√13)/2
x₃=(-1+√17)/4
x₄= (-1-√17)/4追答6x⁴-13x³+12x₂-13x+6=0
两边同除6得

x⁴-(13/6)x³+2x₂-(13/6)x+1=0
移项得
x⁴-(13/6)x³=-2x₂+(13/6)x-1
两边加上(169/144)x²得
[x²-(13/12)x+(1/2)y]²=
[y-(119/144)]x²+[(13/6)-(13/12)y]x+[(1/4)y²-1]
令
[(13/6)-(13/12)y]²-
4 [y-(119/144)] [(1/4)y²-1]=0
即解
y³-2y²+(35/36)y-(50/36)=0
可由塔塔利亚公式或盛金公式解得三根为
y₁=2
y₂=-i(5/6)
y₃=i(5/6)
i是虚数单位
现在将y₁=2代入方程
[x²-(13/12)x+(1/2)y]²=
[y-(119/144)]x²+[(13/6)-(13/12)y]x+[(1/4)y²-1]
得
[x²-(13/6)x+1]²=(169/144)x²
两边同时开方得
[x²-(13/6)x+1]=±(13/12)x
即解
x²+1=0❷
x²-(13/6)x+1=0❷
可解得❶式两个根为
x₁=i
x₂=-i
可解得❷式两个根为
x₃=3/2
x₄=2/3
∴ 6x⁴-13x³+12x₂-13x+6=0的
四个根为
x₁=i
x₂=-i
x₃=3/2
x₄=2/3

全部回答

1楼网友：渊鱼
2021-02-02 02:38

（1）x1=3/2，x2=2/3

2楼网友：风格不统一
2021-02-02 01:46

怎么发图呀

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