已知函数f（x）=x3+px2+9qx+p+q+3（x∈R）的图象关于原点对称，其中p，q是常实数．（Ⅰ）求p，q的值；（Ⅱ）求函数f（x）在区间[-1，4]上的最值

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解决时间 2021-01-24 03:54

提问者网友：几叶到寒
2021-01-23 19:14

已知函数f（x）=x3+px2+9qx+p+q+3（x∈R）的图象关于原点对称，其中p，q是常实数．
（Ⅰ）求p，q的值；
（Ⅱ）求函数f（x）在区间[-1，4]上的最值．

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五星知识达人网友：傲气稳了全场
2021-01-23 20:26

解：（Ⅰ）由于函数f（x）=x3+px2+9qx+p+q+3（x∈R）的图象关于原点对称，
则f（x）为奇函数，所以偶次项系数p=0，p+q+3=0，解得p=0，q=-3．
（Ⅱ）由于f（x）=x3-27x，∴f′（x）=3x2-27=3（x-3）（x+3），
令f′（x）=0，则x=-3或3．
所以当x∈[-1，3）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，
当x∈（3，4]时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
而f（-1）=26，f（4）=-44，f（3）=-54，
所以f（x）min=f（3）=-54，f（x）max=f（-1）=26．解析分析：（1）由于函数关于原点对称，则函数是定义在R上的奇函数，根据奇函数性质即可解出p、q值；（2）利用导数求区间上的最值，要先求导函数，令导数为0解出极值点，再与端点值比较大小即可．点评：本题考查了利用导数求闭区间上函数的最值，求函数在闭区间[a，b]上的最大值与最小值是通过比较函数在（a，b）内所有极值与端点函数f（a），f（b）比较而得到的．

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1楼网友：枭雄戏美人
2021-01-23 20:42

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