初二华罗庚数学试题

1)已知：a^3+b^3+c^3=3abc
求证：a=b=c
2)已知：a^4+b^4+c^4+d^4=4abcd
求证：a=b=c=d

1.
a^3+b^3+c^3-3abc=0
(a+b)(a^2-ab+b^2)+c(c^2-3ab) =0
(a+b)(a^2-ab+b^2)+c(c^2-3ab+a^2-ab+b^2-a^2+ab-b^2)=0
(a+b)(a^2-ab+b^2)+c[(c^2-a^2-2ab-b^2)+(a^2-ab+b^2=0
(a+b)(a^2-ab+b^2)+c[c^2-(a+b)^2]+c(a^2-ab+b^2)=0(a+b+c)(a^2-ab+b^2)+c(a+b+c)(c-a-b)=0
(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac)=0
(a+b+c)[1/2(a-b)^2+1/2(b-c)^2+1/2(a-c)^2]=0
∴a+b+c=0或a=b=c
∵a,b,c为正数
∴a=b=c

2.
a^4+b^4+c^4+d^4-4abcd=0

a^4+b^4-2a^2b^2+c^4+d^4-2c^2d^2-4abcd+2a^2b^2+2c^2d^2=0

(a^2-b^2)^2+(c^2-d^2)^2+2(ab-cd)^2=0

a^2-b^2=0
c^2-d^2=0
ab-cd=0

当a、b、c、d四个数同号时，
a=b=c=d

150或42

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