若f（x）是偶函数，且在（0，+∞）上是减函数，判断f（x）在（-∞，0）上的单调性并证明
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解决时间 2021-11-21 03:47
- 提问者网友：呐年旧曙光
- 2021-11-20 09:55
若f（x）是偶函数，且在（0，+∞）上是减函数，判断f（x）在（-∞，0）上的单调性并证明
最佳答案
- 五星知识达人网友：刀戟声无边
- 2021-11-20 10:14
任取x1，x2∈（-∞，0），且-∞＜x1＜x2＜0
则0≤-x2＜-x1≤+∞
又∵f（x）在（0，+∞）上是减函数，
∴f（-x2）＞f（-x1）
又∵f（x）是偶函数，
∴f（-x2）=f（x2），f（-x1）=f（x1）
∴f（x2）＞f（x1）
即f（x）在（-∞，0）上单调递增．
则0≤-x2＜-x1≤+∞
又∵f（x）在（0，+∞）上是减函数，
∴f（-x2）＞f（-x1）
又∵f（x）是偶函数，
∴f（-x2）=f（x2），f（-x1）=f（x1）
∴f（x2）＞f（x1）
即f（x）在（-∞，0）上单调递增．
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