求递推数列通项公式的常用方法

我们老师要求我们收集和整理递推数列通项公式的常用方法，3000字至少TVT。哪位大人有资料给咱参考参考?不甚感激！
还有个选题就是：分析等差等比数列求通项和前N项和过程中所蕴含的数学思想方法，并结合具体例子进行说明。
我个人感觉是求递推公式的方法那个好写些，不过反正都是300字啦，哪位大人能尽量多给我点资料参考就好啦，高分感谢哈。
希望能够尽量详细哈，有例子最好。毕竟我要凑3千字啊！
谢谢帮忙啊，回答满意我再加50分啊。
非常感谢哈，但是这个答案去掉重复的也才1200多啊，离3000还差的有点远啊，能不能再补充点例子啊文字啊什么的，至少再凑个几百字啊，然后我再自己乱写点也就够了。拜托了啊。

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原发布者:cjc7788

高考递推数列题型分类归纳解析各种数列问题在很多情形下，就是对数列通项公式的求解。特别是在一些综合性比较强的数列问题中，数列通项公式的求解问题往往是解决数列难题的瓶颈。本文总结出几种求解数列通项公式的方法，希望能对大家有帮助。类型1解法：把原递推公式转化为，利用累加法(逐差相加法)求解。例:已知数列满足，，求。解：由条件知：分别令，代入上式得个等式累加之，即所以，变式:（2004，全国I，个理22．本小题满分14分）已知数列，且a2k=a2k－1+(－1)k,a2k+1=a2k+3k,其中k=1,2,3,…….（I）求a3,a5；（II）求{an}的通项公式.解：，，即，…………将以上k个式子相加，得将代入，得，。经检验也适合，类型2解法：把原递推公式转化为，利用累乘法(逐商相乘法)求解。例:已知数列满足，，求。解：由条件知，分别令，代入上式得个等式累乘之，即又，例:已知，，求。解：。变式:（2004，全国I,理15．）已知数列{an}，满足a1=1，(n≥2)，则{an}的通项解：由已知，得，用此式减去已知式，得当时，，即，又，，将以上n个式子相乘，得类型3（其中p，q均为常数，）。解法（待定系数法）：把原递推公式转化为：，其中，再利用换元法转化为等比数列求解。例:已知数列中，，，求.解：设递推公式可以转化为即.故递推公式为,令，则,且.所以是以为首项，2为公比的等比数列，则,所以.变式:（2006，重庆,文,14）在数列中，若，则该数列的通项_______________

这个回答你都不满意 你真是行 那我也就没有什么好说的了 这个回答的确已经很不错了 可系啊

公式法、累加法、累乘法、待定系数法、对数变换法、迭代法、数学归纳法、换元法、不动点法、特征根的方法等等。 类型一 归纳—猜想—证明 由数列的递推公式可写出数列的前几项，再由前几项总结出规律，猜想出数列的一个通项公式，最后用数学归纳法证明． 类型二 “逐差法”和“积商法” (1)当数列的递推公式可以化为an+1-an=f(n)时，取n=1,2,3,…,n-1，得n-1个式子： a2-a1=f(1),a3-a2=f(2),…,an-an-1=f(n-1)， 且f(1)+f(2)+…+f(n-1)可求得时，两边累加得通项an，此法称为“逐差法”． (2)当数列的递推公式可以化为an+1/an=f(n)时，令n=1,2,3,…,n-1,得n-1个式子，即 a2/a1=f(1),a3/a2=f(2),a4/a3=f(3),…,an/an-1=f(n－1)，且f(1)f(2)f(3)…f(n-1)可求得时，两边连乘可求出an，此法称为“积商法”． 类型三 构造法 递推式是pan=qan-1+f(n)(p、q是不为零的常数)，可用待定系数法构造一个新的等比数列求解． 类型四 可转化为类型三求通项 (1)“对数法”转化为类型三． 递推式为an+1=qan

形如：a(n+1)=(aan+b)/(can+d)，a,c不为0的分式递推式都可用不动点法求。 当f(x)=x时，x的取值称为不动点，不动点是我们在竞赛中解决递推式的基本方法。 典型例子： a(n+1)=(a(an)+b)/(c(an)+d) 简单地说就是在递推中令an=x 代入 a(n+1)也等于x 然后构造数列. （但要注意，不动点法不是万能的，有的递推式没有不动点，但可以用其他的构造法求出通项；有的就不能求出） 令x=(ax+b)/(cx+d) 即 cx2+(d-a)x-b=0 令此方程的两个根为x1，x2， 若x1=x2 则有1/(a(n+1)-x1)=1/(an-x1)+p 其中p可以用待定系数法求解，然后再利用等差数列通项公式求解。 若x1≠x2 则有(a(n+1)-x1)/(a(n+1)-x2)=q((an-x1)/(an-x2) 其中q可以用待定系数法求解，然后再利用等比数列通项公式求解。 【注】形如：a(n+1)=(aan+b)/(can+d)，a,c不为0的分式递推式都可用不动点法求。 让a(n+1)=an=x， 代入化为关于x的二次方程 (1)若两根x1不等于x2，有{(an-x1)/(an-x2)}为等比数列，公比由两项商求出 (2)若两根x1等于x2，有{1/(an-x1)}为等差数列，公差由两项差求出 若无解，就只有再找其他方法了。 并且不动点一般只用于分式型上下都是一次的情况，如果有二次可能就不行了。 例1：在数列{an}中，a(n+1)=(2an+8)/an，a1=2，求通项 【解】a(n+1)=(2an+8)/an， a(n+1)=2+8/an令an=x,a(n+1)=x x=2+8/x x^2-2x-8=0 x1=-2,x2=4 {(an-4)/(an+2)}为等比数列 令(an-4)/(an+2)=bn b(n+1)/bn=[(a(n+1)-4)/(a(n+1)+2)]/[(an-4)/(an+2)] =-1/2 b(n+1)=(-1/2)bn b1=-1/2 bn=(-1/2)^n=(an-4)/(an+2) an=[4+2*(-1/2)^n]/[1-(-1/2)^n],n>=1 例2：a1=1,a2=1,a(n+2)= 5a（n+1）-6an， 【解】特征方程为：y²= 5y-6 那么，m=3,n=2,或者m=2，n=3 于是，a（n+2）-3a（n+1）=2[a（n+1）-3an] (1) a（n+2）-2a（n+1）=3[a（n+1）-2an] (2) 所以，a（n+1）-3a（n）= - 2 ^ n (3) a（n+1）-2a（n）= - 3 ^ (n-1) (4) 消元消去a（n+1），就是an,an=- 3 ^ (n-1) +2 ^ n.

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