一系列高数问题 先给100，好的最少加一百！谢谢

1.请证明设p,q,m,n为正整数，则极限lim(x->0,y->0)x^p*y^q/x^m*+y^n存在的充分必要条件是m,n为偶数，且p/m+q/n>1
2.求下列函数的偏导数：z=(1+xy)^y（为什么不把它化成e的幂的形式算下来就是错的？）
3.证明曲线x=e^t*cost,y=e^t*sint,z=e^t,与圆锥面x^2+y^2=z^2上所有母线相交成等角
4.设f(u,v)在区域内有二阶连续偏导数，且有f(x,2x)=x,f1=x^2,f12=x^3,求f(xx)(x,2x)
(注：f1表示对第一个变量求偏导)
5.求函数u=lnx+lny+3lnz 在球面x^2+y^2+z^2=5R^2(x,y,z,R>0)上的最大值，并证明：
任意实数a,b,c,有：
abc^3<=27((a+b+c)/5)^5

1、若p/m+q/n<=1，则在第一象限内取曲线y=kx^r，其中r=m/n，则沿曲线趋于原点时有
x^py^q/(x^m+y^n)=【x^p*x^(rq)/x^m】*k^q/(1+k^n)=【(x^(p/m+q/n))^m/x^m】*k^q/(1+k^n)，显然第一项或者恒等于1，或者趋于无穷，因此原表达式没有极限。
2、不把它化为e的幂的形式你是怎么计算的？
3、圆锥母线参数方程是x=rcosa，y=rsina，z=r，r是参数，切向量为（cosa，sina，1），题目曲线切向量为（e^t(cost--sint)，e^t(sint+cost)，e^t)，两条曲线相交时t=a，r=e^t=e^a，于是两个切向量为（cosa，sina，1）和e^a(cosa--sina，sina+cosa，1)，夹角容易计算出为arccos（根号(2/3)）。
4、2x=dfx/dx=a^2f/ax^2*1+a^2f/axay*2=fxx(x,2x)*1+fxy(x,2x)*2=fxx(x,2x)+2x^3，因此
fxx=2x--2x^3。
5、F=lnx+lny+3lnz+a(x^2+y^2+z^2--5R^2)，
aF/ax=1/x+2ax=0，aF/ay=1/y+2ay=0，aF/az=3/z+2az=0，三个方程分别乘以x，y，z再相加得
5+2a(x^2+y^2+z^2)=5+2a(5R^2)=0，于是a=--1/(2R^2)，由此解得x=R，y=R，z=根号(3)R。
故有lnx+lny+3lnz的最大值为lnR+lnR+3ln根号(3)R=ln(3根号(3)R^5)，即
lnx+lny+3lnz<=ln(3根号(3)R^5)，或者等价的
x^2y^2z^6<=27R^6=27【(x^2+y^2+z^2)/5】^5。
令要证不等式中的a，b，c分别取为x^2，y^2，z^2即可。

北航的？？

lim(x~+∞)[(x^2+1)/(x+1)-ax-b] 通分 =lim(x~+∞)[(x^2+1)/(x+1)-(ax+b)(x+1)/(x+1)] =lim(x~+∞){(x^2+1)/(x+1)-[ax^2+(a+b)x+b]/(x+1)} =lim(x~+∞){[(1-a)x^2-(a+b)x+(1-b)]/(x+1)} 分子分母除以x =lim(x~+∞){[(1-a)x-(a+b)+(1-b)/x]/(1+1/x)} 分析： 分母极限：lim(x~+∞)(1+1/x)=1常数。 分子极限：lim(x~+∞)[(1-a)x-(a+b)+(1-b)/x]当x的系数(1-a)不为零时，分子极限为无穷大。 所以。当(1-a)不为零时lim(x~+∞)[(x^2+1)/(x+1)-ax-b]=∞ 得到a不等于1 b可为任意常数。 （如果有不妥之处请回复）

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