怎么证明三角形内最大矩形的面积是三角形面积的一半

怎么证明三角形内最大矩形的面积是三角形面积的一半

从某个顶点向其对边作高，以垂足为原点高和底边作为两个坐标轴，可以很容易得到另外两条边所在直线的解析式，然后以在y轴（也就是高上取一个点设这个点是（x，0）过这一点作底边平行线，求出平行线与两外两边的交点，进而求出内接矩形面积（是一个x的函数表达式，一个二次函数），最后求出这个函数的最大值

面积最大的矩形是这个三角形任意两边中点为两顶点，过两中点分别向第三边作垂线，形成的矩形就是面积最大的 根据”三角形一边中位线平行且等于这条边的一半”（准确概念记不清了，意思是这样的）设第三边为X，则矩形的一边长为0.5X，第三边上的高为Y，根据三角形相似，可知矩形另一边为0.5Y，所以矩形面积为0.25XY，三角形面积为0.5XY，所以，会了吧，就一半了，呵呵． 加油啊！！

本题不画图，还真不容易说清楚，我们试试吧！ 将矩形的边向两边延长，有八只脚。三角形只三个边，必有一边交三脚，三脚中，必有一对平行者。由此出发，通过“作平行线或垂线”的方法，总可以在不变小面积的条件下，通过矩形或平行四边形，把原矩形换为一个新矩形，其一边在三角形一边上，另两个顶点分别在三角形的另外两个边上。 我们可设开始即如此，矩形defg在⊿abc之内，de在bc上，g在ab上，f在ac上。 设a关于gf的对称点为a′, b关于gd的对称点为b′, c关于fe的对称点为c′. ⊿abc,矩形defg，⊿agf,⊿bdg,⊿efc,⊿a′b′c′的面积分别是s,s0,s1,s2,s3,s4. 则有s0＝s1＋s2＋s3－s4, s＝s0＋s1＋s2＋s3. s＝s0＋（s0＋s4）＝2s0＋s4≥2s0 当s4＝0时，（a′在bc上，） s＝2s0 即： 三角形内最大矩形的面积是三角形面积的一半。 竹林雨绵绵 ，画个图吧，希望你满意！ ，

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