在△OAB中，O为坐标原点，A（1，cosx），B（sinx，1），x∈（0，π/2]，则当△OAB的面积达到最大值时，x等于？

要过程，谢谢啦。

|OA|=√(1+cos²x), |OB|=√(1+sin²x), OA*OB=sinx+cosx

∴cosAOB=OA*OB/|OA||OB|=(sinx+cosx)/√(1+cos²x)×√(1+sin²x)

∴sin²AOB=1-cos²AOB=1-(sinx+cosx)²/(1+cos²x)(1+sin²x)=[(1+cos²x)(1+sin²x)-(sinx+cosx)²]/(1+cos²x)(1+sin²x)=(1+cos²xsin²x-2sinxcosx)/(1+cos²x)(1+sin²x)=(1-sinxcosx)²/(1+cos²x)(1+sin²x)

∴sinAOB=|1-sinxcosx|/√(1+cos²x)×√(1+sin²x)

S△AOB=(1/2)|OA|×|OB|sinAOB=(1/2)√(1+cos²x)×√(1+sin²x)×|1-sinxcosx|/√(1+cos²x)×√(1+sin²x)

    =(1/2)×|1-sinxcosx|=(1/2)|1-(1/2)sin2x|=(1/2)[1-(1/2)sin2x]=1/2-(1/4)sin2x

x∈(0,π/2], 2x∈(0,π], ∴sin2x∈[0,1]

∴sin2x=0时,S△ABC取得最大值1/2, 此时x=π/2

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