一题高数证明题

设f(x)在[0，1]上连续，且f(0)=f(1).证明一定存在x。属于[0，1/3]，使f(x。)=f(2x。+1/3)

证明：设F(x)=f(x)-f(2x+1/3)

F(x)在[0,1/3]上连续，在(0,1/3)上可导。

因为F(0)=f(0)-f(1/3),F(1/3)=f(1/3)-f(1).

又因为f(0)=f(1),

所以F(1/3)=f(1/3)-f(0).

所以F(0).F(1/3)<=0.

即在（0,1/3）至少存在一点使得F(x。)=0

即f(x。)=f(2x。+1/3)。

楼主如果有不明白的地方可以追问，如果满意请采纳.

设F(x)＝f(x)－f(2x+1/3)，则F(x)在[0,1/3]上连续

F(0)＝f(0)－f(1/3)，F(1/3)＝f(1/3)－f(1)＝f(1/3)－f(0)

若f(0)＝f(1/3)，则x0＝0满足f(x0)＝f(2x0+1/3)，结论成立

若f(0)≠f(1/3)，则F(0)×F(1/3)＜0，由零点定理，在(0,1/3)内至少存在一点x0，使得F(x0)＝0，即f(x0)＝f(2x0+1/3)

所以，结论成立

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