解答题已知f（x）=ln（ex+a）是定义域为R的奇函数，g（x）=λf（x）．（1）

解答题 已知f（x）=ln（ex+a）是定义域为R的奇函数，g（x）=λf（x）．
（1）求实数a的值；
（2）若g（x）≤xlog2x在x∈[2，3]上恒成立，求λ的取值范围．

解：（1）函数f（x）=ln（ex+a）是定义域为R的奇函数，
令f（0）=0，即ln（1+a）=0，解得a=0，故函数f（x）=ln（ex）=x． …（4分）
显然有f（-x）=-f（x），函数f（x）=x是奇函数，满足条件，所求实数a的值为0．…（6分）
（2）f（x）=x，g（x）=λx，则λx≤xlog2x在x∈[2，3]上恒成立，即λ≤log2x在x∈[2，3]上恒成立，…（8分）
∵函数y=log2x在x∈[2，3]上的最小值为log22=1，…（11分）
∴λ≤1，即λ的取值范围为（-∞，1]．…（12分）解析分析：（1）令f（0）=0，解得a=0，可得函数f（x）=ln（ex）=x，经检验满足条件，故所求实数a的值为0．（2）根据f（x）=x，g（x）=λx，可得λ≤log2x在x∈[2，3]上恒成立，求出函数y=log2x在x∈[2，3]上的最小值为log22=1，可得λ的取值范围．点评：本题主要考查函数的奇偶性，对数函数的图象和性质，属于中档题．

我学会了

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