九年级几何运动变化题

在△ABC中，∠A=60°，AC=2cm，长为1cm的线段MN在△ABC的边AB上沿AB方向以1cm/s的速度向点B运动（运动前点M与点A重合）。过M，N分别作AB的垂线交直角边于P，Q两点，线段MN运动的时间为ts。

（1）若△AMP的面积为y，写出y与t的函数关系式（写出自变量t的取值范围）；

（2）线段MN运动过程中，四边形MNQP有可能成为矩形吗？若有可能，求出此时t的值；若不可能，说明理由；

（3）t为何值时，以C，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似？

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解：（1）∵ △ABC中 ∠ACB=90°，∠CAB=60°
∴ AB=2AC=4（cm) 勾股定理
∵ PM⊥AB
∴ y=1/2 AM x PM
=1/2 x 1t x （根号下3）t = （根号下3）t² / 2
∵ 当t=0时，M与A重合，
NB=AB-AN=AB-MN=4-1=3（cm)
此时△AMP不存在（因为AM=0）
∴ t>0
又 作CD⊥AB于D，
AD=1/2 AC=1（cm)( 勾股定理)
当AM>AD时，△APM不存在
∴ 1 x t ≤1
∴ t ≤ 1
∴ 0 < t ≤ 1
（2）设MNQP为矩形，则PQ//AB//MN，PQ=MN=1
∴∠CPQ=∠CAB=60° 两直线平行，同位角相等
∴CP=1/2 PQ = 1/2 勾股定理
∴AP=AC-PC=3/2
∵MNQP为矩形
∴PM⊥AB，∠PMA=90°
又∵ ∠A=60°
∴AM=1/2 AP= 3/4（cm)
∵AM=1 x t
∴此时 t=3/4(s)
∵t=3/4，0 < t ≤ 1
∴存在MNQP为矩形的情况
（3）设△CAB与△CPQ相似
∵∠C为△CAB与△CPQ公共角
∴∠CAB=∠CPQ
∴PQ//AB
∵PM⊥AB，QN⊥AB
∴MNQP为矩形
同（2），t=3/4

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