在△ABC中，a,b,c分别是角A,B,C的对边，且满足ccosB+bcosC=4acosA.(1).求cosA.

在△ABC中，a,b,c分别是角A,B,C的对边，且满足ccosB+bcosC=4acosA.(1).求cosA.

答：
三角形ABC中，ccosB+bcosC=4acosA
根据正弦定理有：
a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R
则有：
sinCcosB+sinBcosC=4sinAcosA
sin(B+C)=4sinAcosA
因为：B+C+A=180°
所以：sinA=sin(B+C)>0
所以：4cosA=1
解得：cosA=1/4

k向量a 向量b=(kcosα cosβ,ksinα sinβ) 向量a-k向量b=(cosα-kcosβ,sinα-ksinβ) 因为k向量a 向量b与向量a-k向量b长度相等 (kcosα cosβ)^2 (ksinα sinβ)^2=(cosα-kcosβ)^2 (sinα-ksinβ)^2 化简得cos(β-α)=0 因为0<α<β<π 所以β-α=π/2

由正弦定理得：sinCcosB+sinBcosC=4sinAcosA sin（B+C）=4sinAcosA 因为sin（B+C）=sinA且sinA不等于0 所以sinA=4sinAcosA 即cosA=1/4

利用正弦定理 a,b,c可以换成sinA sinB sinC 所以那个式子可以变成 sinCcosB+sinBcosC=4sinAcosA sin(B+C)=4sinAcosA 4cosA=1 (诱导公式 sin(B+C)=sinA ) cosA=0.25

正弦定理：a=sinA×2R b=sinB×2R c=sinC×2R ∴sinC×2R×cosB+sinB×2R×cosC=4×sinA×2R × cosA sinCcosB+sinBcosC=4sinAcosA sin(B+C)=4sinAcosA sin[180°-A]=4sinAcosA sinA=4sinAcosA cosA=1/4

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