高一函数一题

已知定义在实数集上的函数y=f(x)满足条件：对于任意的x,y∈R,f(x+y)=f(x)+f(y).

求证：

1.f(0)=0

2.f(x)是奇函数

1.令x=y=0

f(0+0)=f(0)+f(0)

f(0)=2f(0)

f(0)=0

2.令y=-x

f(x-x)=f(x)+f(-x)

f(0)=f(x)+f(-x)=0

f(x)=-f(-x)

所以是奇函数

解：①设X=Y=0 则由已知f(0+0)=f(0)+f(0) 即f(0)=2f(0) 则f(0)=0 ②Y=X(X∈R）y=-x（x∈R） ③设a、b满足x≥0且a＞b，则 f(a)-f(b)=f(a)+f(-b)=f(a-b) a-b＞0则f(a-b)＜0 即f(a)-f(b)＜0，f(a)＜f(b) f(x)在定义域内为减函数。 ∵f(-x)=-f(x) |-f(x)|=f(-x) 即f(x)=f(-x)，∴|f(x)|在R上为偶函数 设g(x)=a 有图像可得 当x≤0时，没有交点 当x=0时，有一个交点 当x＞0时，有两个交点

解：1.令x=y=0

则有对于任意的x,y∈R,f(x+y)=f(x)+f(y).

f(0+0)=f(0)+f(0)

f(0)=2f(0)

f(0)=0

2.令x=-x

f(x+(-x))=f(x)+f(-x).

f(0)=f(x)+f(-x).

f(x)=-f(-x).

所以f(x)是奇函数

1:直接设x，y都为0 得f(0)=02：设x，y互为相反数 则 f(0)=f(x)+f(y).，得f(0)=f(x)+f(-x) 则：f（x）=-f(x),所以是奇函数~~~~()

令x=y=0

可得f(0)=f(0)+(0)

所以f(0)=0

(1)令x,y均为0，得到f(0)=2f(0),即f(0)=0

(2)令y=-x，则有f(0)=f(-x)+f(x),即f(-x)=-f(x)为奇函数

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