求连续函数f(x)使满足等式f(x)+2∫_0^x▒〖f(t)〗 dt=e^(-3x)

求连续函数f(x)使满足等式f(x)+2∫_0^x▒〖f(t)〗 dt=e^(-3x)

设y=f(x),则f(0)=1

对已知式两边求导得: y'+2y=-3e^(-3x)
两边同乘以e^(2x) : (y.e^(2x))'=-3e^(-x)
y.e^(2x)=3e^(-x)+C
y=3e^(-3x)+Ce^(-2x) 即 f(x)=3e^(-3x)+Ce^(-2x)
由f(0)=1 得 f(x)=3e^(-3x)-2e^(-2x)

所以 f(x)=3e^(-3x)-2e^(-2x)

希望对你有点帮助！

对已知式求导得f'(x)=e^x+f(x),设y=f(x),得 y'-y=e^x,① 由y'-y=0得y=ce^x 设y=c(x)*e^(x),则y'=[c'(x)+c(x)]e^x 代入①，c'(x)=1 c(x)=x+c, ∴f(x)=(x+c)e^x 代入已知式，(x+c)e^x=e^x+∫<0,x>[(t+c)e^t]dt =e^x+（x+c-1）e^x+c-1 比较得c=1 ∴f(x)=(x+1)e^x

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