已知函数f（x）的定义域是x不等于0的一切实数，对定义域内的任意x1，x2都有f（X1

已知函数f（x）的定义域是x不等于0的一切实数，对定义域内的任意x1，x2都有f（X1xX2）＝f（x1）＋f（x2），当x＞1时，f（x）＞0，且f（2）＝1。（1）求证：f（x）是偶函数。

证明：（1）由： f(x1x2)=f(x1)+f(x2)
可知：f(x)=f(1*x)=f(x)+f(1)
所以：f(1)=0
又 f(1)=f[(-1)(-1)]=f(-1)+f(-1)
所以： f(-1)=0
f(x)=f[(-x)*(-1)]=f(-x)+f(-1)=f(-x)
所以：　f(x)是偶函数
（2） 设定义域（0，正无穷）内的任意x1,x2 x1>x2
　设　x1=kx2 （k>1）
可得：f(x1)=f(kx2)=f(k)+f(x2)
已知　当x>1时，f(x)>0，
所以　　f(k)>0
所以　f(k)+f(x2)>f(x2)
即　　f(x1)>f(x2)
所以f(x)在（0,＋无穷）上是增函数

1、f(1*1) = f(1)+f(1) 得f(1) = 0；f((-1)*(-1)) = f(-1) + f(-1)即2f(-1) = f(1) = 0，得f(-1) = 0； 所以对定义域内的任意x都有f(-1*x) = f(-1) +f(x)，即f(-x) = f(x)，又f(x)定义域关于x=0对称，所以f(x)为偶函数 2、对定义域内的任意x都有f(x*(1/x)) = f(x)+f(1/x)，即f(x)+f(1/x) = f(1) = 0，所以有f(1/x) = -f(x)； 所以对任意x1,x2∈(0,+∞)，有f(x1/x2) = f(x1) - f(x2)，当x1>x2时，x1/x2>1，所以此时f(x1/x2) >0，故可以推出：对任意x1,x2∈(0,+∞)，当x1>x2时有f(x1) - f(x2) > 0，所以f(x)在(0,+∞)上是增函数

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