三角形ABC中,角ACB等于90度,角BAC等于60度,圆o是三角形ABC的内切圆,切点分别为D,E,F,如图,求证AF等于根号三CF

如上

连结OD,OE,OF,则OD垂直于AB,OE垂直于BC,OF垂直于AC. 连结OB,则BO是角ABC的角平分线,角OBC=15度. 设BO交DE于H,则BH垂直于DE. 三角形CGE相似于三角形HBE（两角相等）,角G=角OBE=15度. 设内接圆半径r=1,则： AF=AD=OF×tan30=根号3/3, AC=AF+CF=根号3/3 + 1, BC=AC×tan60=（根号3/3 + 1）×根号3 = 3+根号3, BE = BC-BE = 3+根号3 - 1 = 2+根号3, tan角OBE = tan角G = OE/BE=1/（2+根号3）=2-根号3 也可以用三角差公式得出： tan15 = tan（45-30） =（tan45-tan30）/（1+tan45×tan30） =（1-根号3/3）/（1+根号3/3） =（1-根号3/3）^2/（1-1/3） =（1+1/3-2×根号3/3）/（2/3） =（3+1-2×根号3）/2 =2-根号3 结果一致

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