一道九年数学题

如图，E,F分别为正方形ABCD边BC与CD延长线的点，且BE=DF，EF分别交线段AC，线段AD于M,N两点，（E不予B,C重合）

（1）若S三角形CEF：S三角形AEF=1：2，求tan角EFC

BE=DF ，AB=AD，角B=角ADF，所以△ABE全等于△ADF，

所以AE=AF，∠BAE=∠DAF，即∠EAF=90° ，△EAF是等腰直角三角形。

设正方形边长为1，BE=x，则DF=x，CE=1-x

三角形CEF的面积S=1/2CE*CF=1/2(1-x)*(1+x)

三角形AEF的面积S=1/2AE*AF=1/2AE²=1/2(BE²+AB²）=1/2(x²+1)

由题意知(1/2(1-x)*(1+x))/(1/2(x²+1))=1/2

得x=根号3/3

所以tan∠EFC=CE/CF=(1-x)/(1+x)=1/2

2-√3

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