求下列幂级数的和函数常数项级数之和 ∑(2n一l)/2^n
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解决时间 2021-11-15 18:41
- 提问者网友：疯孩纸
- 2021-11-15 12:39
求下列幂级数的和函数常数项级数之和 ∑(2n一l)/2^n
最佳答案
- 五星知识达人网友：等灯
- 2021-11-15 13:27
考虑幂级数
f(x) = ∑(n≥1)[(n+1)(x^n)]，|x|<1，
积分，得
∫[0,x]f(t)dt
= ∑(n≥1)∫[0,x][(n+1)(t^n)]dt
= ∑(n≥1)x^(n+1)
= -(1+x)+1/(1-x)，|x|<1，
求导，得
f(x) = -1+1/(1-x)²，|x|<1，
这样，
∑(n≥1)[(2n-1)/(2^n)]
= 2∑(n≥1)[(n+1)(1/2)^n] -3∑(n≥1)(1/2)^n
= 2f(1/2) -3∑(n≥1)(1/2)^n
= ……
f(x) = ∑(n≥1)[(n+1)(x^n)]，|x|<1，
积分，得
∫[0,x]f(t)dt
= ∑(n≥1)∫[0,x][(n+1)(t^n)]dt
= ∑(n≥1)x^(n+1)
= -(1+x)+1/(1-x)，|x|<1，
求导，得
f(x) = -1+1/(1-x)²，|x|<1，
这样，
∑(n≥1)[(2n-1)/(2^n)]
= 2∑(n≥1)[(n+1)(1/2)^n] -3∑(n≥1)(1/2)^n
= 2f(1/2) -3∑(n≥1)(1/2)^n
= ……
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