设函数f(x)=cos(2x+π/3)+sin^2( x+π).求函数的最小正周期和单调递增区间

设函数f(x)=cos(2x+π/3)+sin^2( x+π).求函数的最小正周期和单调递增区间

f(x)=cos(2x+π/3)+[sin(x+π)]^2f(x)=cos(2x)cos(π/3)-sin(2x)sin(π/3)+(sinx)^2f(x)=(1/2)cos(2x)-[(√3)/2]sin(2x)+[1-cos(2x)]/2f(x)=(1/2)cos(2x)-[(√3)/2]sin(2x)-(1/2)cos(2x)+1/2f(x)=1/2-[(√3)/2]sin(2x)可见,最小正周期是：2π/2=πf(x)=1/2-[(√3)/2]sin(2x)f'(x)=-(√3)cos(2x)令：f'(x)＞0,即：-(√3)cos(2x)＞0整理,有：cos(2x)＜0可见：2kπ+π/2＜2x＜2kπ+3π/2,其中：k=0、±1、±2、±3……解得：kπ+π/4＜x＜kπ+3π/4,即：f(x)单调区间是：x∈(kπ+π/4,kπ+3π/4),其中：k=0、±1、±2、±3……======以下答案可供参考======供参考答案1:f(x)=cos(2x+π/3)+sin^2( x+π)=cos(2x+π/3)+sin^2( x) =(1/2)cos2x-(√3/2)sin2x+(1/2)(1-cos2x) =(1/2)-(√3/2)sin2x，所以，函数f(x)的最小正周期为T=2π/2=π。f(x)单调递增，就是sin2x单调递减，由2kπ+π/2≤2x≤2kπ+3π/2，得kπ+π/4≤x≤kπ+3π/4，k∈Z，故f(x)的单调递增区间为[kπ+π/4，kπ+3π/4](k∈Z)。供参考答案2:f(x)=cos2xcosπ/3-sin2xsinπ/3+sin²x=1/2(2cos²x-1)-√3/2(2sinxcosx)+sin²x=cos²x-√3sinxcosx+(1-cos²x）-1/2=1/2-√3/2sin2x∴T=2π/2=π∵2x∈[-π/2+2kπ,π/2+2kπ]递增∴x∈[-π/4+kπ,π/4+kπ]递增

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