广义逆矩阵的计算方法
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解决时间 2021-11-13 06:40
- 提问者网友：箛茗
- 2021-11-12 07:35
广义逆矩阵的计算方法
最佳答案
- 五星知识达人网友：鱼忧
- 2021-11-12 08:48
广义逆矩阵的计算方法大致可分为三类：以满秩分解和奇异值分解为基础的直接法，迭代法和其他一些常用于低阶矩阵的非凡方法。
以A+的计算为例。若A是一个秩为r的m×n阶非零矩阵，记作（图6），,有满秩分解A=F·G,其中（图7），则（图8），即将广义逆矩阵的计算化为通常逆矩阵的计算。常用LU分解和QR分解等方法实现满秩分解，然后求出A+。若A有奇异值分解A=UDV*，其中U、V为m阶和n阶酉矩阵，（图9）是m×n阶矩阵，∑是r阶对角阵，对角元（图10）是A的r个非零奇异值（AA*的非零特征值的平方根），则A+=VD+U*，其中（图11）是n×m阶矩阵。也可用豪斯霍尔德变换先将 A化为上双对角阵J0=P*AQ，然后再对J0使用QR算法化为矩阵D=G*J0h，于是A=(PG)D(Qh)*，故A+1=(Qh)D+(PG)*。设λ1是AA*的最大非零特征值，若0<α<2/λ1，则计算A+的一个迭代法是x0=αA*，xn+1=(2I-Axn)，当n→∞时，xn收敛于A+。
格雷维尔逐次递推法也是计算A+的常用方法。设A的第k列为αk(k=1,2,…,n)，A1=α1,Ak=(Ak-1,αk)(k=2,3，…,n),则（图12），式中（图13）（图14）。
1955年以后，出现了大量的关于广义逆矩阵的理论、应用和计算方法的文献。70年代还出版了一些专著和会议录，指出广义逆矩阵在控制论、系统辨识、规划论、网络理论、测量、统计和计量经济学等方面的应用。
以A+的计算为例。若A是一个秩为r的m×n阶非零矩阵，记作（图6），,有满秩分解A=F·G,其中（图7），则（图8），即将广义逆矩阵的计算化为通常逆矩阵的计算。常用LU分解和QR分解等方法实现满秩分解，然后求出A+。若A有奇异值分解A=UDV*，其中U、V为m阶和n阶酉矩阵，（图9）是m×n阶矩阵，∑是r阶对角阵，对角元（图10）是A的r个非零奇异值（AA*的非零特征值的平方根），则A+=VD+U*，其中（图11）是n×m阶矩阵。也可用豪斯霍尔德变换先将 A化为上双对角阵J0=P*AQ，然后再对J0使用QR算法化为矩阵D=G*J0h，于是A=(PG)D(Qh)*，故A+1=(Qh)D+(PG)*。设λ1是AA*的最大非零特征值，若0<α<2/λ1，则计算A+的一个迭代法是x0=αA*，xn+1=(2I-Axn)，当n→∞时，xn收敛于A+。
格雷维尔逐次递推法也是计算A+的常用方法。设A的第k列为αk(k=1,2,…,n)，A1=α1,Ak=(Ak-1,αk)(k=2,3，…,n),则（图12），式中（图13）（图14）。
1955年以后，出现了大量的关于广义逆矩阵的理论、应用和计算方法的文献。70年代还出版了一些专著和会议录，指出广义逆矩阵在控制论、系统辨识、规划论、网络理论、测量、统计和计量经济学等方面的应用。
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