∫dx/(1+2cosx)

答案:2 悬赏:60 手机版

解决时间 2021-02-12 14:33

提问者网友：棒棒糖
2021-02-11 16:10

∫dx/(1+2cosx)

最佳答案

五星知识达人网友：酒者煙囻
2021-02-11 16:58

cosx = 1 - 2sin²(x/2)2cosx = 2 - 4sin²(x/2)∫ dx/(1 + 2cosx)= ∫ dx/[3 - 4sin²(x/2)]= ∫ dx/[3sin²(x/2) + 3cos²(x/2) - 4sin²(x/2)]= ∫ dx/[3cos²(x/2) - sin²(x/2)]= ∫ sec²(x/2)/[3 - tan²(x/2)] dx= 2∫ 1/{[√3 - tan(x/2)][√3 + tan(x/2)]} dtan(x/2)= 2/(2√3)∫ { [√3 + tan(x/2)] + [√3 - tan(x/2)] }/{ [√3 - tan(x/2)][√3 + tan(x/2)] } dtan(x/2)= (1/√3)∫ {1/[√3 - tan(x/2) + 1/[√3 + tan(x/2)] } dtan(x/2)= (1/√3) { - ln|√3 - tan(x/2)| + ln|√3 + tan(x/2)| } + C= (1/√3)ln| [√3 + tan(x/2)]/[√3 - tan(x/2)] | + C或使用万能代换：令u = tan(x/2),dx = 2du/(1 + u²),cosx = (1 - u²)/(1 + u²)∫ dx/(1 + 2cosx) = ∫ 1/[1 + 2(1 - u²)/(1 + u²)] • 2/(1 + u²) • du= 2∫ du/(3 - u²) = 2∫ du/[(√3 - u)(√3 + u)]= (2/2√3)∫ [(√3 + u) + (√3 - u)]/[(√3 - u)(√3 + u)] du= (1/√3)[- ln|√3 - u| + ln|√3 + u|] + C= (1/√3)ln| (√3 + u)/(√3 - u) | + C= (1/√3)ln| [√3 + tan(x/2)]/[√3 - tan(x/2)] | + C,实际上跟上面的步骤一样,但用u替代了tan(x/2)

全部回答

1楼网友：忘川信使
2021-02-11 18:16

我明天再问问老师，叫他解释下这个问题

我要举报

如以上回答内容为低俗、色情、不良、暴力、侵权、涉及违法等信息，可以点下面链接进行举报！

点此我要举报以上问答信息