矩阵为幂等矩阵的充要条件

已知一个n阶矩阵A满足rank(A)+rank(E-A)=n，其中E为n阶单位矩阵，怎么证明A是幂等矩阵，也即证明A^2=A

此题甚易

首先，设A可逆，则rank(E-A)=0,A=E,命题成立
设E-A可逆，则rank A=0,A=0,命题成立
现设A不可逆，E-A不可逆。设映射α：X→AX, β：X→(E-A)X
由rank(A)+rank(E-A)=n知dim ker α+dim ker β=n.而ker α是AX=0的解空间，ker β是(E-A)X
=0的解空间，由此知A可对角化为diag(O,E),即存在可逆矩阵P,使得PAP－¹=diag(O,E)=C,
而C²=C,两边同时左乘P－¹右乘P可得A^2=A

因为a，b是幂等的 若ab=-ba (a+b)^2=a^2+ab+ba+b^2=a+b 故a+b是幂等的 若a+b是幂等的 a+b=(a+b)^2=a^2+ab+ba+b^2=a+b+ab+ba 故ab+ba=0 命题成立

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