若椭圆3x²+4y²=12上存在两个不同的点A.B关于直线2x-y+m=0对称，试求m的取值范围
答案:1 悬赏:20 手机版
解决时间 2021-11-28 17:31
- 提问者网友：一抹荒凉废墟
- 2021-11-28 07:35
若椭圆3x²+4y²=12上存在两个不同的点A.B关于直线2x-y+m=0对称，试求m的取值范围
最佳答案
- 五星知识达人网友：摆渡翁
- 2021-11-28 08:09
用点差法。设A(x1,y1)，B(x2,y2)，中点为M(x0,y0)，则
3x1²+4y1²=12 (1)
3x2²+4y2²=12 (2)
（2）-（1）得
3(x2-x1)(x1+x2)+4(y2-y1)(y1+y2)=0
所以 AB的斜率k=(y2-y1)/(x2-x1)=3(x1+x2)/[4(y1+y2)]=3x0/(4y0)
由于直线2x-y+m=0的斜率为2，所以 k=-1/2
即-1/2=3x0/(4y0)，
3x0+2y0=0 (3)
又M在直线 2x-y+m=0上，所以
2x0-y0+m=0 (4)
由（3）（4），得
x0=-2m/7，y0=3m/7
因为M在椭圆内，所以 3x0²+4y0²<12
即 12m²/49+36m²/49<12
m²<49/4
-7/2
3x1²+4y1²=12 (1)
3x2²+4y2²=12 (2)
（2）-（1）得
3(x2-x1)(x1+x2)+4(y2-y1)(y1+y2)=0
所以 AB的斜率k=(y2-y1)/(x2-x1)=3(x1+x2)/[4(y1+y2)]=3x0/(4y0)
由于直线2x-y+m=0的斜率为2，所以 k=-1/2
即-1/2=3x0/(4y0)，
3x0+2y0=0 (3)
又M在直线 2x-y+m=0上，所以
2x0-y0+m=0 (4)
由（3）（4），得
x0=-2m/7，y0=3m/7
因为M在椭圆内，所以 3x0²+4y0²<12
即 12m²/49+36m²/49<12
m²<49/4
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