设圆满足 「1」截y轴所得弦长为2 「2」被X轴分成两段弧 弧长比为3：1求圆心到直线X-2Y=0距

设圆满足 「1」截y轴所得弦长为2 「2」被X轴分成两段弧 弧长比为3：1求圆心到直线X-2Y=0距

设圆的方程为(x-a)^2+(y-b)^2=r^2截y轴所得弦长为2,即令x=0,y的两个根之差的绝对值为2.也即y^2-2by+a^2+b^2-r^2=0由韦达定理得y1+y2=2by1y2=a^2+b^2-r^2于是有2^2=4=|y1-y2|^2=(y1+y2)^2-4y1y2=(2b)^2-4(a^2+b^2-r^2)=4(r^2-a^2)得r^2=a^2+1 ①被X轴分成两段弧 弧长比为3：1,设与x轴的两个交点为M(x1,0)、N(x2,0),圆心P(a,b),则有PM⊥PN,即△MPN为RT三角形.于是有PM^2+PN^2=MN^2(a-x1)^2+b^2+(a-x2)^2+b^2=(x2-x1)^2化简得x1x2-a(x1+x2)+a^2+b^2=0 ②(x-a)^2+(y-b)^2=r^2,令y=0得x^2-2ax+a^2+b^2-r^2=0由韦达定理得x1+x2=2ax1x2=a^2+b^2-r^2代入②式得a^2+b^2-r^2-2a^2+a^2+b^2=0得r^2=2b^2 ③结合①③可得a^2=2b^2-1 ④r^2=2b^2 ⑤圆心P(a,b)到直线X-2Y=0距离为d=|a-2b|/√[1^2+(-2)^2]=|a-2b|/√5由④式可令a=tanxb=√2/2*secx于是有d=|a-2b|/√5=|tanx-√2secx|/√5=|(sinx-√2)/cosx|/√5令(sinx-√2)/cosx=k得sinx-kcosx=√2=√(1+k^)sin(x+α)≤√(1+k^2)得k^2≥1于是有d=|a-2b|/√5=|(sinx-√2)/cosx|/√5=|k|/√5≥1^2/√5=1/√5此时有|a-2b|=1也即a-2b=1或a-2b=-1 ⑥联立④⑤⑥可解得a=1,b=1,r=√2或a=-1,b=-1,r=√2于是圆的方程为(x-1)^2+(y-1)^2=2或(x+1)^2+(y+1)^2=2

对的，就是这个意思

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