xy^2=p(x+y) p为质数 x y都属于正整数 求出p的所有取值 使方程有正整数解xy

xy^2=p(x+y) p为质数 x y都属于正整数 求出p的所有取值 使方程有正整数解xy

由已知得 p|xy^2 ,因此 p|x 或 p|y ,（1）若 p|x ,设 x=pm ,代入已知等式,则得 my^2=pm+y ,因此 m|y ,设 y=mn ,则 (mn)^2=p+n ,因此 n|p ,所以 n=1 或 n=p .当 n=1 时,p=m^2-1=(m+1)(m-1) ,只有 m=2 ,p=3 ,此时 x=6 ,y=2 ；当 n=p 时,有 m^2*p^2=2p ,因此 m^2*p=2 ,只有 m=1 ,p=2 ,此时 x=2 ,y=2 ；（2）若 p|y ,设 y=pm ,代入已知等式,可得 pxm^2=x+pm ,由 x=pm(xm-1) 得 pm|x ,由 pm=x(pm^2-1) 得 x|pm ,所以 x=pm ,代入得 p^2*m^3=2pm ,因此 pm^2=2 ,只有 m=1 ,p=2 ,此时 x=y=2 ,综上可得,p=2 或 3 .当 p=2 时,x=y=2 ；当 p=3 时,x=6 ,y=2 .

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