勾股定理的例题证明方法 带图的

勾股定理的例题证明方法 带图的

就是余弦定理的特殊形式，简单的方法是用平面向量来证明

勾股定理的多种证明方法　　这个定理有许多证明的方法，其证明的方法可能是数学众多定理中最多的。路明思（Elisha Scott Loomis）的 Pythagorean Proposition（ 《毕达哥拉斯命题》）一书中总共提到367种证明方式。　　有人会尝试以三角恒等式（例如：正弦和余弦函数的泰勒级数）来证明勾股定理，但是，因为所有的基本三角恒等式都是建基于勾股定理，所以不能作为勾股定理的证明（参见循环论证）。证法1（梅文鼎证明）　　作四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b ，斜边长为c. 把它们拼成如图那样的一个多边形，使D、E、F在一条直线上. 过C作AC的延长线交DF于点P. 　　∵ D、E、F在一条直线上, 且RtΔGEF ≌ RtΔEBD, 　　∴ ∠EGF = ∠BED，　　∵ ∠EGF + ∠GEF = 90°，　　∴ ∠BED + ∠GEF = 90°，　　∴ ∠BEG =180°―90°= 90° 　　又∵ AB = BE = EG = GA = c，　　∴ ABEG是一个边长为c的正方形. 　　∴ ∠ABC + ∠CBE = 90° 　　∵ RtΔABC ≌ RtΔEBD, 　　∴ ∠ABC = ∠EBD. 　　∴ ∠EBD + ∠CBE = 90° 　　即 ∠CBD= 90° 　　又∵ ∠BDE = 90°，∠BCP = 90°，　　BC = BD = a. 　　∴ BDPC是一个边长为a的正方形. 　　同理，HPFG是一个边长为b的正方形. 　　设多边形GHCBE的面积为S，则　　, 　　∴ BDPC的面积也为S，HPFG的面积也为S由此可推出：a^2+b^2=c^2 　　 证法2（项明达证明）　　作两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a） ，斜边长为c. 再做一个边长为c的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形，使E、A、C三点在一条直线上. 　　过点Q作QP∥BC，交AC于点P. 　　过点B作BM⊥PQ，垂足为M；再过点　　F作FN⊥PQ，垂足为N. 　　∵ ∠BCA = 90°，QP∥BC，　　∴ ∠MPC = 90°，　　∵ BM⊥PQ，　　∴ ∠BMP = 90°，　　∴ BCPM是一个矩形，即∠MBC = 90°. 　　∵ ∠QBM + ∠MBA = ∠QBA = °，　　∠ABC + ∠MBA = ∠MBC = 90°，　　∴ ∠QBM = ∠ABC，　　又∵ ∠BMP = 90°，∠BCA = 90°，BQ = BA = c，　　∴ RtΔBMQ ≌ RtΔBCA. 　　同理可证RtΔQNF ≌ RtΔAEF.即a^2+b^2=c^2 证法3（赵浩杰证明）　　作两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a） ，斜边长为c. 再做一个边长为c的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形. 　　分别以CF，AE为边长做正方形FCJI和AEIG，　　∵EF=DF-DE=b-a，EI=b，　　∴FI=a，　　∴G,I,J在同一直线上，　　∵CJ=CF=a，CB=CD=c，　　∠CJB = ∠CFD = 90°，　　∴RtΔCJB ≌ RtΔCFD ，　　同理，RtΔABG ≌ RtΔADE，　　∴RtΔCJB ≌ RtΔCFD ≌ RtΔABG ≌ RtΔADE 　　∴∠ABG = ∠BCJ, 　　∵∠BCJ +∠CBJ= 90°, 　　∴∠ABG +∠CBJ= 90°, 　　∵∠ABC= 90°, 　　∴G,B,I,J在同一直线上，　　所以a^2+b^2=c^2 证法4（欧几里得证明）　　作三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们拼成如图所示形状，使H、C、B三点在一条直线上，连结　　BF、CD. 过C作CL⊥DE，　　交AB于点M，交DE于点L. 　　∵ AF = AC，AB = AD，　　∠FAB = ∠GAD，　　∴ ΔFAB ≌ ΔGAD，　　∵ ΔFAB的面积等于，　　ΔGAD的面积等于矩形ADLM 　　的面积的一半，　　∴ 矩形ADLM的面积 =. 　　同理可证，矩形MLEB的面积 =. 　　∵ 正方形ADEB的面积　　= 矩形ADLM的面积 + 矩形MLEB的面积　　∴ 即a的平方+b的平方=c的平方证法5欧几里得的证法　　《几何原本》中的证明　　在欧几里得的《几何原本》一书中提出勾股定理由以下证明后可成立。 设△ABC为一直角三角形，其中A为直角。从A点划一直线至对边，使其垂直于对边上的正方形。此线把对边上的正方形一分为二，其面积分别与其余两个正方形相等。　　在正式的证明中，我们需要四个辅助定理如下：　　如果两个三角形有两组对应边和这两组边所夹的角相等，则两三角形全等。（SAS定理） 三角形面积是任一同底同高之平行四边形面积的一半。 任意一个正方形的面积等于其二边长的乘积。 任意一个四方形的面积等于其二边长的乘积（据辅助定理3）。 证明的概念为：把上方的两个正方形转换成两个同等面积的平行四边形，再旋转并转换成下方的两个同等面积的长方形。　　其证明如下：　　设△ABC为一直角三角形，其直角为CAB。 其边为BC、AB、和CA，依序绘成四方形CBDE、BAGF和ACIH。 画出过点A之BD、CE的平行线。此线将分别与BC和DE直角相交于K、L。 分别连接CF、AD，形成两个三角形BCF、BDA。 ∠CAB和∠BAG都是直角，因此C、A 和 G 都是线性对应的，同理可证B、A和H。 ∠CBD和∠FBA皆为直角，所以∠ABD等于∠FBC。 因为 AB 和 BD 分别等于 FB 和 BC，所以△ABD 必须相等于△FBC。 因为 A 与 K 和 L是线性对应的，所以四方形 BDLK 必须二倍面积于△ABD。 因为C、A和G有共同线性，所以正方形BAGF必须二倍面积于△FBC。 因此四边形 BDLK 必须有相同的面积 BAGF = AB^2。 同理可证，四边形 CKLE 必须有相同的面积 ACIH = AC^2。 把这两个结果相加， AB^2+ AC^2; = BD×BK + KL×KC 由于BD=KL，BD×BK + KL×KC = BD(BK + KC) = BD×BC 由于CBDE是个正方形，因此AB^2 + AC^2= BC^2。 此证明是于欧几里得《几何原本》一书第1.47节所提出的　　【证法6】（欧几里德(Euclid)射影定理证法）　　如图1，Rt△ABC中，∠ABC=90°，AD是斜边BC上的高，通过证明三角形相似则有射影定理如下：　　1）（BD）^2;=AD·DC， （2）（AB）^2;=AD·AC ， （3）（BC）^2;=CD·AC 。　　由公式（2）+（3）得：　　（AB）^2;+（BC）^2;=AD·AC+CD·AC =（AD+CD)·AC=（AC）^2;，　　即 （AB）^2;+（BC）^2;=（AC）^2，这就是勾股定理的结论。 图1 [编辑本段]勾股定理的别名　　勾股定理，是几何学中一颗光彩夺目的明珠，被称为“几何学的基石”，而且在高等数学和其他学科中也有着极为广泛的应用。正因为这样，世界上几个文明古国都已发现并且进行了广泛深入的研究，因此有许多名称。　　我国是发现和研究勾股定理最古老的国家之一。我国古代数学家称直角三角形为勾股形，较短的直角边称为勾，另一直角边称为股，斜边称为弦，所以勾股定理也称为勾股弦定理。在公元前1000多年，据记载，商高（约公元前1120年）答周公曰“故折矩，以为句广三，股修四，径隅五。既方之，外半其一矩，环而共盘，得成三四五。两矩共长二十有五，是谓积矩。”因此，勾股定理在我国又称“商高定理”。在公元前7至6世纪一中国学者陈子，曾经给出过任意直角三角形的三边关系即“以日下为勾，日高为股，勾、股各乘并开方除之得邪至日。　　在法国和比利时，勾股定理又叫“驴桥定理”。还有的国家称勾股定理为“平方定理”。　　在陈子后一二百年，希腊的著名数学家毕达哥拉斯发现了这个定理，因此世界上许多国家都称勾股定理为“毕达哥拉斯”定理。为了庆祝这一定理的发现，毕达哥拉斯学派杀了一百头牛酬谢供奉神灵，因此这个定理又有人叫做“百牛定理”．　　前任美国第二十届总统伽菲尔德证明了勾股定理（1876年4月1日）。　　1 周髀算经, 文物出版社,1980年3月, 据宋代嘉定六年本影印,1-5页。　　2. 陈良佐: 周髀算经勾股定理的证明与出入相补原理的关系. 刊於《汉学研究》, 1989年第7卷第1期, 255-281页。　　3. 李国伟: 论「周髀算经」“商高曰数之法出于圆方”章. 刊於《第二届科学史研讨会汇刊》, 台湾, 1991年7月， 227-234页。　　4. 李继闵: 商高定理辨证. 刊於《自然科学史研究》,1993年第12卷第1期,29-41页 。　　5. 曲安京: 商高、赵爽与刘徽关於勾股定理的证明. 刊於《数学传播》20卷, 台湾, 1996年9月第3期, 20-27页 [编辑本段]习题及答案　　将直角三角形ABC绕直角顶点C旋转,使点A落在BC边上的A',利用阴影部分面积完成勾股定理的证明.角ACB=90度,BC=a,AC=b,AB=c;求证:a平方+b平方=c平方. 　　答案　　在直角三角形ABC绕直角顶点C旋转点A落在BC上点A撇利用阴影部分面积完成勾股定理的证明　　已知角ACB=90度BC=a AC=b AB=c 　　求证a平方+b平方=c平方　　证明作三角形A撇B撇C撇≌三角形ABC使点A的对应点A撇在BC上，连接AA撇 BB撇 延长B撇A撇交AB于点M 　　因为△A'B'C是由△ABC旋转所得　　所以，Rt△ABC≌Rt△A'B'C 　　所以，∠A'B'C=∠ABC 　　延长B'A'交AB于点M 　　则，∠A'B'C+∠B'A'C=90° 　　而，∠B'A'C=∠MA'B（对顶角）　　所以，∠MBA'+MA'B=90° 　　所以，B'M⊥AB 　　那么，Rt△ABC∽Rt△A'BM 　　所以，A'B/AB=A'M/AC 　　即，(a-b)/c=A'M/b 　　所以，A'M=(a-b)*b/c 　　那么，△ABB'的面积=(1/2)AB*B'M=(1/2)AB*[B'A'+A'M] 　　=(1/2)*c*[c+(a-b)*b/c] 　　=(1/2)c^2+(1/2)(a-b)*b 　　=(1/2)[c^2+ab-b^2]…………………………………………（1）　　△B'A'B的面积=(1/2)A'B*B'C=(1/2)(a-b)a=(1/2)(a^2-ab) 　　而△ABB'的面积=2*S△ABC+S△B'A'B 　　所以：(1/2)[c^2+ab-b^2]=2*[(1/2)ab]+(1/2)(a^2-ab) 　　则：c^2+ab-b^2=2ab+a^2-ab 　　所以：c的平方=a平方+b平方　　勾股定理: 　　在我国，把直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方这一特性叫做勾股定理或勾股弦定理，又称毕达哥拉斯定理或毕氏定理（Pythagoras Theorem）。　　定理：　　如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么a^2+b^2=c^2； 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。　　如果三角形的三条边a，b，c满足a^2+b^2=c^2 ，那么这个三角形是直角三角形。（称勾股定理的逆定理）　　来源：　　是一个基本的几何定理，传统上认为是由古希腊的毕达哥拉斯所证明。据说毕达哥拉斯证明了这个定理后，即斩了百头牛作庆祝，因此又称“百牛定理”。在中国，《周髀算经》记载了勾股定理的一个特例，相传是在商代由商高发现，故又有称之为商高定理；三国时代的赵爽对《周髀算经》内的勾股定理作出了详细注释，作为一个证明。法国和比利时称为驴桥定理，埃及称为埃及三角形。我国古代把直角三角形中较短得直角边叫做勾，较长的直角边叫做股，斜边叫做弦。

如以上回答内容为低俗、色情、不良、暴力、侵权、涉及违法等信息，可以点下面链接进行举报！

点此我要举报以上问答信息