已知不等式ax²+bx+c＞0的解集为(2，3)，求cx²+bx+a＜0和解集

已知不等式ax²+bx+c＞0的解集为(2，3)，求cx²+bx+a＜0和解集

解：
由解集构造不等式：(x-2)(x-3)<0
-x²+5x-6>0
此不等式与已知不等式等价
令a=-t，(t>0)，则b=5t，c=-6t
cx²+bx+a<0
-6tx²+5tx-t<0
6x²-5x+1>0
(2x-1)(3x-1)>0
x<⅓或x>½
不等式的解集为(-∞，⅓)U(½，+∞)

ax^2+bx+c＞0的解集为(2，3) => a<0 and -b/a= 2+3 -b/a=5 (1) and c/a = 2(3) c/a= 6 (2) (1)/(2) b/c = -5/6 cx^2+bx+a＜0 -cx^2-bx-a >0 x^2 +(b/c)x + a/c >0 x^2 -(5/6)x + 1/6 >0 6x^2-5x +1 >0 (2x-1)(3x-1) >0 x>1/2 or x<1/3

由 不等式ax的平方+bx+c＞0的解集为（α，β），知 a＜0，

又α+β=-b/a＞0，αβ=c/a＞0 可得 b＞0、c＜0；

由于 α+β=-b/a，αβ=c/a两式相除得：-b/c=(α+β)/αβ，且 a/c=1/αβ；

在方程 cx的平方+bx+a=0中，x1+x2=-b/c=(α+β)/αβ，x1x2=a/c=1/αβ，

故 方程 cx的平方+bx+a=0 的两根为 x1=1/β、x2=1/α，

由于 c＜0，所以不等式cx的平方+bx+a<0的解集为 (-∞，1/β)u(1/α，∞).

由已知得不等式最简形式为： -x²+5x-6>0, 则所求不等式为-6x²+5x-1<0, 解为x<1/3或x>1/2。

ax²+bx+c＞0的解集为(2，3),ax²+bx+c=0的两根为x=2 ,或x=3 所以 ,a<0,b>0c<0二次函数开口向下,20 y=ax²+bx+c,二次函数顶点: x=-b/2a=5/2 b=-5a x1+x2=-b/a ,x1x2=c/a -b/a=5 ,c/a=6 2)cx²+bx+a=0中 x1+x2=-b/c ,x1x2=a/c x1x2=a/c=1/(c/a)=1/6 x1+x2=-b/c=-(-5a/c)=5a/c=5*(1/6)=5/6 所以cx²+bx+a＜0原不等式为 c<0 x²-5/6x+1/6>0 6x²-5x+1>0 (2x-1)(3x-1)>0 x>1/2或x<1/3

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