设自然数n使2n+1和3n+1是完全平方数．（1）求证：40|n．（2）5n+3能否为质数？

设自然数n使2n+1和3n+1是完全平方数．（1）求证：40|n．（2）5n+3能否为质数？

证明：（1）∵2n+1是完全平方数，∴2n+1被8除余1，∴n为偶数，∴3n+1为奇数，又∵3n+1是完全平方数，∴3n+1被8除余1，∴8|3n，∵（8，3）=1，∴8|n．由x2=0，1，4（mod5），及（3n+1）+（2n+1）=5n+2，得2n+1被5除均余1，于是5|（3n+1）-（2n+1），即5|n，∵（8，5）=1，∴40|n；（2）由2n+1及3n+1都是完全平方数，可设2n+1=k2及3n+1=m2（k，m∈N），则5n+3=4（2n+1）-（3n+1）=4k2-m2=（2k+m）（2k-m），显然2k+m＞1，若2k-m=1，即2k=m+1，从而5n+3=2k+m=2m+1，于是（m-1）2=m2-（2m+1）+2=（3n+1）-（5n+3）+2=-2n＜0，这与（m-1）2≥0矛盾，故2k-m＞1，所以5n+3是合数，即5n+3不能为质数．======以下答案可供参考======供参考答案1:40|n是什么意思供参考答案2:2n+1则一定是奇数，3n+1未知，不妨设相差为n。那么只有在（1）n=√(3n+1)+√(2n+1)或（2）n=2×[√(3n+1)+√(2n+1)]时才成立；在情况（1），n为奇数。根据奇数的平方被4除都余1，舍去情况（2）时，这时得n只有一个可取的，那就是40。40|n情况成立。供参考答案3:简单啊！2n+1是奇数，3n+1待定，且相差为n。那么只有在n=√(3n+1)+√(2n+1)或n=2×[√(3n+1)+√(2n+1)]时才对在情况①，n为奇数。根据奇数的平方被4除都余1，显然就不对了。情况②时，这时得n只有一个可取的，那就是40。40|n情况成立。

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