高数：计算∫∫xyzdxdy，其中∑为球面x²+y²+z²=1的外侧 x≥0，y≥0
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解决时间 2021-02-20 16:07
- 提问者网友：流星是天使的眼泪
- 2021-02-20 01:29
高数：计算∫∫xyzdxdy，其中∑为球面x²+y²+z²=1的外侧 x≥0，y≥0
最佳答案
- 五星知识达人网友：胯下狙击手
- 2021-02-20 02:30
被积曲面关于xOy对称，被积函数关于z是奇函数，根据第二类曲面积分的对称性原理
原式=2∫∫xy√1-x²-y²dxdy (其中，被积区域为x²+y²=1, x,y≥0)
原式=2∫[0->π/2]∫[0->1]r³√1-r²drdθ=(π/2)∫[0->1]r²√1-r²dr²
=(π/2)[∫[0->1]√1-r²dr²-∫[0->1](1-r²)√1-r²dr²]
=(π/2)[(-2/3)(1-r²)^(3/2) | [0->1] - (-2/5)(1-r²)^(5/2) | [0->1] ]
=2π/15
原式=2∫∫xy√1-x²-y²dxdy (其中，被积区域为x²+y²=1, x,y≥0)
原式=2∫[0->π/2]∫[0->1]r³√1-r²drdθ=(π/2)∫[0->1]r²√1-r²dr²
=(π/2)[∫[0->1]√1-r²dr²-∫[0->1](1-r²)√1-r²dr²]
=(π/2)[(-2/3)(1-r²)^(3/2) | [0->1] - (-2/5)(1-r²)^(5/2) | [0->1] ]
=2π/15
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