在棱长为1的正方形体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是D1D,BD的中点,且CG=1/4CD,H为C1G的中点，

应用空间向量方法求解下列问题：（1）求证：EF垂直B1C;(2)求EF与C1G所成的角的余弦；（3）求FH的长。

以A1为原点，A1B1为x轴，A1D1为y轴，A1A为z轴，建立空间直角坐标系A1—xyz
则有A1(0,0,0)，E(0,1,1/2)，F(1/2,1/2,1)，B1(1,0,0)，C(1,1,1)，G(3/4,1,1)，H(7/8,1,1/2)
(1)由已知坐标得：向量EF=(1/2,-1/2,1/2)，向量B1C=(0,1,1)
所以向量EF*向量B1C=-1/2+1/2=0
所以EF垂直B1C
(2)可得：向量EF=(1/2,-1/2,1/2)，向量B1G=(-1/4,1,1)
所以cos<向量EF,向量B1G>=向量EF*向量B1G/(|向量EF|*|向量B1G|)
=(-1/8-1/2+1/2)/(根号3/2*根号33/4)=-根号11/33
所以EF与C1G所成的角的余弦为根号11/33
(3)可得向量FH=(3/8,1/2,-1/2)
所以FH=根号((3/8)²+(1/2)²+(-1/2)²)=根号41/8

∵△a1ae≌△abh

∴∠hab=∠a1ea

又∵∠a1ea+∠aa1e=90°

∴∠hab+∠a1ea=90°

∴ah⊥a1e

易证a1d1⊥面a1abb1，∴a1d1⊥ah

∵a1d1⊥ah，ah⊥a1e，a1g交a1e=a1

∴ah⊥面a1ge

∴ah⊥eg

第二道题我觉得无数次方的方法不错

我也推荐一种方法

首先看的时候 那个a1-efg的体积看起来复杂 所以我把它放大了

取cd中点q

用1）的那种思路 可以证明红色线是f-a1eqd1的高

然后这条高很容易求 再a1eg的面积

就能求出体积

我觉得我和无限次方都能获得满意答案 我们都很认真回答你的问题啦

望采纳

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