已知函数f(x)=2a+1/a-1/a2x,常数a>0. 1.设m.n>0,证明：函数f(x)在[

已知函数f(x)=2a+1/a-1/a2x,常数a>0.
1.设m.n>0,证明：函数f(x)在[m,n]上单调递减
2.设0<m<n且f(x)的定义域和值域都是[m,n],求n-m的最大值

(1)∵f（x）= （2a＋1）/a－1/a²x =（－1／a²）／x＋（2a＋1）/a 且a＞0
∴1／a²＞0 ∴－1／a²＜0
（这题类似反比例函数y=k／x，k≠0相当于k=－1／a²）
∵反比例函数y=（－1/a²）／x在[m，n]为增函数。（画出图像即可）
又f（x）的单调性与反比例函数y的单调性相同。
∴函数f（x）在[m，n]上单调递增。

（2）∵f（x）的定义域和值域都是[m，n]， （0＜m＜n）
由（1）知，f（x）= （－1／a²）／x＋（2a＋1）／a ，（a＞0）在区间[m，n]上为增函数。
∴f（x）min=f（m）=（－1／a²）／m＋（2a＋1）／a =m ， ①
∴f（x）max=f（n）=（－1／a²）／n＋（2a＋1）／a =n， ②
结合题意，又由①②知，对于方程（－1／a²）／x＋（2a＋1）／a = x有两个异正实根m，n。
即：方程x²－[（2a＋1）／a ）]x＋1／a²= 0有两个异正实根m，n。
∴判别式Δ=[（2a＋1）／a ）]²－4•1•1／a²＞0
即：[（2a＋1）²－4]／a²＞0 ＜＝＞（2a＋1）²－4＞0，∴（2a－1）•（2a＋3）＞0
∴a＜－3／2 或a＞1／2 ，又a＞0 ∴a＞1／2
由韦达定理得：m＋n =（2a＋1）／a =2＋1／a＞0 ③
m•n=1／a²＞0 ④
显然③④对于a＞1／2时成立。
∴a＞1／2
∴a的取值范围为（1／2，＋∞）

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题目是这个吧 已知函数f(x)=2a+1/a-1/a^2x,常数a>0 (1)设m*n>0,证明:函数f(x)在[m,n]上单调递增 (2)o<m<n且f(x)的定义域和值域都是[m,n]，求常数a的取值范围 (1)∵f（x）=（2a＋1）/a－1/a²x=（－1／a²）／x＋（2a＋1）/a且a＞0 ∴1／a²＞0∴－1／a²＜0 （这题类似反比例函数y=k／x，k≠0相当于k=－1／a²） ∵反比例函数y=（－1/a²）／x在[m，n]为增函数。（画出图像即可） 又f（x）的单调性与反比例函数y的单调性相同。 ∴函数f（x）在[m，n]上单调递增。 （2）∵f（x）的定义域和值域都是[m，n]，（0＜m＜n） 由（1）知，f（x）=（－1／a²）／x＋（2a＋1）／a，（a＞0）在区间[m，n]上为增函数。 ∴f（x）min=f（m）=（－1／a²）／m＋（2a＋1）／a=m，① ∴f（x）max=f（n）=（－1／a²）／n＋（2a＋1）／a=n，② 结合题意，又由①②知，对于方程（－1／a²）／x＋（2a＋1）／a=x有两个异正实根m，n。 即：方程x²－[（2a＋1）／a）]x＋1／a²=0有两个异正实根m，n。 ∴判别式δ=[（2a＋1）／a）]²－4•1•1／a²＞0 即：[（2a＋1）²－4]／a²＞0＜＝＞（2a＋1）²－4＞0，∴（2a－1）•（2a＋3）＞0 ∴a＜－3／2或a＞1／2，又a＞0∴a＞1／2 由韦达定理得：m＋n=（2a＋1）／a=2＋1／a＞0③ m•n=1／a²＞0④ 显然③④对于a＞1／2时成立。 ∴a＞1／2 ∴a的取值范围为（1／2，＋∞） 分多点吧

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