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y=ax(指数函数)的值域和定义域均为[m,n].则a的取值范围是?

答案:2  悬赏:70  手机版
解决时间 2021-11-23 20:09
  • 提问者网友:沦陷
  • 2021-11-23 05:00
y=ax(指数函数)的值域和定义域均为[m,n].则a的取值范围是?
最佳答案
  • 五星知识达人网友:舍身薄凉客
  • 2019-06-05 10:06
求导得y'=a^xlna, 令y'=1 得 x=log(a)(1/lna) 带入使 a^(log(a)(1/lna))=log(a)(1/lna) 得出 a= e^(1/e) 所以 取值是(1,e^(1/e))
全部回答
  • 1楼网友:青尢
  • 2019-07-27 16:52
解:函数f(x)=a^x(a>1)的定义域和值域都是[m,n],而函数f(x)=a^x(a>1)是单调的,因此,f(m)=m,f(n)=n.因此f(x)=x即a^x=x必须至少有一解,两边取对数分离参数得:lna=(lnx)/x,上述问题即,直线y=lna与函数y=(lnx)/x需至少有一个交点,已知a>1,而函数y=(lnx)/x的值域为(-∞,1/e](这个问题如果你不会,我们可以看常见函数y=(lnx)/x的版块研究:求导:得y’=(1-lnx)/x^2,至此很容易得到,函数在(0,e)上单调递增,在(e,+∞)上单调递减,,因此函数在x=e处取得最大值1/e.),因此0<lna<=1/e(★:这里你最好自己能把函数 y=(lnx)/x的大致图象画出来看看就知道了),所以:1<a<=e^(1/e), 所以,函数f(x)=a^x(a>1)的定义域和值域都是[m,n],则a的取值范围为: (1,e^(1/e)]
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